Семинар добрушинской математической лаборатории: 20 апреля в 16.00 в к. 307.

20 апреля 2010 г., 16:00, ауд. 307.   

Докладчики: С. Нечаев, А. Соболевский 

Тонкая структура решений моделей класса KPZ

В докладе, который состоит из двух частей, будет рассказано о довольно неожиданной (для докладчиков) связи между моделями баллистической агрегации из класса универсальности KPZ (Kardar-Parisi-Zhang), уравнениями Гамильтона-Якоби со случайной силой и статистикой локально свободных групп.

1. "Минимайзеры" и "шоки" в модели баллистического роста

Рассматривается (1+1)-мерная модель баллистической агрегации в ограниченном пространстве, принадлежащая классу универсальности KPZ. Основное внимание уделено фрактальной структуре растущего агрегата, который представляет собой совокупность кластеров, разделенных системой каналов. Мы формулируем задачу роста как задачу динамического програмирования, описываемого уравнением Беллмана - дискретным аналогом уравнения Гамильтона-Якоби. Данный язык позволяет установить соответствие между кластерами и каналами в задаче агрегации, с одной стороны, и совокупностями минимизирующих траекторий и "шоков" в решениях уравнения Гамильтона-Якоби или Бюргерса - с другой. Используя скейлинговый анализ шоков, мы вычисляем ряд критических индексов, характеризующих размер и массу кластеров в зависимости от высоты агрегата. Рассмотрение статистических свойств кластеров приводит естественным образом к определению нового "оснащенного" процесса Эйри ("hairy Airy process").

2. KPZ-скейлинг в топологическом перемешивании

Рассматривается течение двумерной вязкой жидкости, в которой хаотическое поведение генерируется случайными последовательными вращениями тонких стержней, опущенных в жидкость. Последовательность вращений стержней рассматривается как последовательность применения генераторов группы кос. Хаотизация течения жидкости характеризуется показателем Ляпунова произведения матриц--генераторов группы кос в представлении Магнуса. Показано, что данная задача геометрически эквивалентна баллистической агрегации, а статистические свойства показателя Ляпунова характеризуются критическим поведением, относящимся к классу KPZ. Высказывается гипотеза о существовании в хаотическом течении жидкости иерархической структуры "островов", в которых движение жидкости скоррелировано, разделенных каналами или "шоками". Эта структура аналогична фрактальной структуре hairy Airy process, рассмотренной в первой части доклада. 

 

Страница семинара.     

15.04.2010 | Петров Леонид Александрович