Министерство науки и образования Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Московский физико-технический институт (государственный университет)» 
МФТИ (ГУ)

«Утверждаю»
Проректор по учебной работе
_______________ Д.А.Зубцов
«___»______________ 20___ г.

Рабочая УЧЕБНАЯ Программа

По дисциплине: Теория оптимизации
По направлению: 010900 «Прикладные математика и физика»
магистерская программа: 010974 – Телекоммуникационные сети и системы
Факультет радиотехники и кибернетики
Кафедра проблем передачи и обработки информации
Курс: 1 (магистратура) 
Семестры – осенний и весенний 	Дифференцированный зачёт: 1 семестр
						Экзамен: 2 семестр

Трудоёмкость: вариативная часть – 5 зач.ед.,
в том числе:
лекции: вариативная часть – 66 часов
самостоятельная работа: вариативная часть – 66 часов
подготовка к экзамену: вариативная часть – 1 зач.ед.

ВСЕГО АУДИТОРНЫХ часов  66

Программу составил д.ф.-м.н., профессор Г.Г. Магарил-Ильяев

Программа обсуждена на заседании кафедры 28 мая 2012 года

Заведующий кафедрой						А.П. Кулешов
академик РАН

Объем учетной нагрузки и виды отчетности

Вариативная часть, в том числе:	5 зач.ед.
	
Лекции	66 часов
	
Самостоятельные занятия	66 часов
	
Промежуточная аттестация
	дифференцированный зачет в 1-м семестре магистратуры	
Итоговая аттестация	экзамен во 2-м семестре магистратуры (1 зач.ед.)	
ВСЕГО	5 зач.ед. (132 часа + 1 зач.ед.)	

1.	Цели и задачи дисциплины

Цель дисциплины – освоение студентами основ теории оптимизации.
Задачи:
-	фундаментальная подготовка студентов в области теории оптимизации;
-	формирование подходов к выполнению самостоятельных исследований студентами в области теории оптимизации.

2.	Место дисциплины в структуре ООП магистратуры

Дисциплина «Теория оптимизации» включает в себя разделы, которые могут быть отнесены к вариативной части цикла М.2.
Дисциплина «Теория оптимизации» базируется на материалах курсов бакалавриата: базовая и вариативная часть Б.2 и Б.3 УЦ ООП.

3.	Компетенции, формированию которых способствует освоение дисциплины

Освоение дисциплины «Теория оптимизации» способствует формированию следующих общекультурных и общепрофессиональных интегральных компетенций магистра:
а) общекультурные (ОК):
-	способность использовать на практике углубленные фундаментальные знания, полученные в области естественных и гуманитарных наук, и обладать научным мировоззрением (ОК-1);
-	способность ставить, формализовать и решать задачи, уметь системно анализировать научные проблемы, генерировать новые идеи и создавать новое знание (ОК-2);
-	способность самостоятельно приобретать и использовать в практической деятельности знания и умения, в том числе в новых областях (ОК-3);
-	способность формулировать устно и письменно свою точку зрения, владеть навыками ведения научной и общекультурной дискуссий на русском и английском языках (ОК-4);
б) профессиональные (ПК):
-	способность применять в своей профессиональной деятельности углубленные знания, полученные в соответствии с профильной направленностью (ПК-1);
-	способность ставить задачи теоретических и (или) экспериментальных научных исследований и решать их с помощью соответствующего физико-математического аппарата, современной аппаратуры и информационных технологий (ПК-2);
-	способность самостоятельно осваивать новые дисциплины и методы исследований (ПК-3);
-	способность применять современные методы анализа, представления и передачи информации, использовать пакеты прикладных программ по профилю подготовки (ПК-4);
-	способность определять вместе с коллективом исполнителей направления собственной научной, технической или инновационной деятельности, выбирать подходы к решению конкретных исследовательских и (или) инновационных задач (ПК-7);
-	способность самостоятельно и (или) в составе исследовательской группы разрабатывать, исследовать и применять математические и физические модели для качественного и количественного описания явлений и процессов и (или) разработки новых технических средств (ПК-9).

4.	Знания, умения и навыки, формированию которых способствует освоение дисциплины

Освоение дисциплины «Теория оптимизации» способствует формированию комплекса знаний и навыков, благодаря которым обучающийся должен
а) знать:
-	принцип Лагранжа получения необходимых условий в различных экстремальных задачах  с ограничениями;
-	принципы двойственности для выпуклых объектов (множеств, функций, экстремальных задач); 
-	постановки задач оптимального восстановления линейных функционалов и операторов на классах элементов по неточной информации о самих элементах  и их связь с соответствующими двойственными задачами;
б) уметь:
-	выписывать, опираясь на принцип Лагранжа,  необходимые условия экстремума в произвольной задаче с ограничениями;
-	решать задачи математического и выпуклого программирования, вариационного исчисления и оптимального управления; 
в) владеть:
-	навыком освоения большого объема информации;
-	навыками постановки научно-исследовательских задач и навыками самостоятельной работы.

5.	Структура и содержание дисциплины

Лекции
№ п.п.	Тема	Число аудиторных часов	Число часов самостоятельной работы	
1	Основные идеи и методы теории экстремума и выпуклого анализа.
Аппарат теории экстремума.	2	2	
2	Экстремальные задачи без ограничений.	4	4	
3	Принцип Лагранжа для конечномерных экстремальных задач с ограничениями.	4	4	
4	Принцип Лагранжа для задач вариационного исчисления.	4	4	
5	Принцип Лагранжа для задач оптимального управления.	4	4	
6	Выпуклые множества и выпуклые функции.	2	2	
7	Теоремы отделимости.	4	4	
8	Субдифференциальное исчисление.	2	2	
9	Двойственность в выпуклом анализе.	4	4	
10	Принцип Лагранжа для выпуклых экстремальных задач.	4	4	
11	Задачи оптимального восстановления линейных функционалов и операторов по неточной информации.
Предварительные сведения.	6	6	
12	Общие результаты о восстановлении линейных функционалов по неточной информации.	6	6	
13	Задачи интерполяции, экстраполяции, дифференцирования, интегрирования и др.	6	6	
14	Оптимальное восстановление функций и их производных по неточно заданному спектру.	7	7	
15	Оптимальное восстановление решений дифференциальных уравнений по неточным исходным данным.	7	7	
ВСЕГО	66 часов	66 часов	
ИТОГО	132 часа	
  
Виды самостоятельной работы
№ п.п.	Темы	Количество часов	
1	Изучение теоретического курса – выполняется самостоятельно каждым студентом по итогам каждой из лекций, результаты контролируются преподавателем на лекционных занятиях,  используются конспект (электронный) лекций, учебники, рекомендуемые данной программой.	33	
2	Решение задач по заданию (индивидуальному где требуется) преподавателя – решаются задачи, выданные преподавателем по итогам лекционных занятий и сдаются в конце семестра, используются конспект (электронный) лекций, учебники, рекомендуемые данной программой, а также сборники задач, включая электронные.	33	
3	Подготовка к дифференциальному зачету и экзамену	1 зач.ед.	
ВСЕГО	66 часов + 
1 зач.ед.	

6.	Образовательные технологии

№ п/п	Вид занятия	Форма проведения занятий	Цель	
1	Лекция	Изложение теоретического материала	Получение теоретических знаний по дисциплине	
2	Самостоятельная работа студента	Самостоятельная работа	Получение дополнительных знаний и подготовка к зачету и экзамену	

7.	Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов

Перечень контрольных вопросов для сдачи дифференцированного зачета в 1-ом семестре магистратуры
№ п.п.	Тема	
1	Понятие производной для конечномерных отображений.	
2	Необходимые и достаточные условия минимума для конечномерной задачи без ограничений.	
3	Принцип Лагранжа для конечномерной задачи с ограничениями типа равенств.	
4	Принцип Лагранжа для конечномерной задачи с ограничениями типа равенств и неравенств.	
5	Необходимые условия экстремума в простейшей задаче вариационного исчисления.	
6	Необходимые условия экстремума в задаче Больца.	
7	Необходимые условия экстремума в изопериметрической задаче.	
8	Необходимые условия экстремума в задаче Лагранжа.	
9	Необходимые условия минимума в задаче оптимального управления.	
10	Понятие выпуклого множества, выпуклой оболочки множества, выпуклой функции. Основные операции над выпуклыми множествами.	
11	Формулировка конечномерной теоремы отделимости для выпуклых множеств.	
12	Понятие субдифференциала выпуклой функции. Примеры.	
13	Понятие двойственной задачи к данной задаче. Двойственность в линейном программировании.	

Перечень контрольных вопросов для сдачи экзамена во 2-ом семестре магистратуры
1	Постановка задачи оптимального восстановления линейного функционала на классе элементов по неточной информации о самих элементах. Примеры.	
2	Теорема двойственности для задачи оптимального восстановления линейного функционала.	
3	Постановка задачи оптимального восстановления линейного оператора на классе элементов по неточной информации о самих элементах. Примеры.	
4	Постановки задач об оптимальных квадратурах, интерполяции и экстраполяции. Двойственные задачи.	
5	Постановка задачи и формулировка результата об оптимальном восстановлении значения периодической функции в данной точке по ее неточно заданным коэффициентам Фурье.	
6	Постановка задачи и формулировка результата об оптимальном восстановлении значения функции, заданной на прямой, в данной точке по ее неточно заданному преобразованию Фурье.	
7	Постановка задачи и формулировка результата об оптимальном восстановлении периодической функции в среднеквадратической метрике по ее неточно заданным коэффициентам Фурье.	
8	Постановка задачи и формулировка результата об оптимальном восстановлении функции, заданной на прямой, в среднеквадратической метрике по ее неточно заданному преобразованию Фурье.	
9	Постановка задачи и формулировка результата о наилучшем восстановлении решения уравнения теплопроводности по его неточным измерениям в отдельные моменты времени.	
10	Постановка задачи и формулировка результата о наилучшем восстановлении решения уравнения теплопроводности по неточно заданным начальным условиям.	

8.	Материально-техническое обеспечение дисциплины

Необходимое оборудование для лекций и практических занятий: доска, ноутбук и мультимедийное оборудование (проектор или плазменная панель).

Обеспечение самостоятельной работы: конспекты, литература, компьютер.

9.	Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

Основная литература

1.	Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. Изд-е 3-е. М.: Физматлит, 2007.
2.	Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. Выпуклый анализ и его приложения. Изд-е 3-е. М.: УРСС, 2011.
3.	Арутюнов А.В., Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. Принцип максимума Понтрягина. Доказательство и приложения. М.: Факториал Пресс, 2006.
4.	Галеев Э.М., Зеликин М.И., Конягин С.В., Магарил-Ильяев Г.Г., Осмоловский Н.П., Протасов В.Ю., Тихомиров В.М., Фурсиков А.В. Оптимальное управление. М.: МЦНМО, 2008.