Министерство науки и образования Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение 
высшего профессионального образования
«Московский физико-технический институт (государственный университет)» 
МФТИ (ГУ)

«Утверждаю»
Проректор по учебной работе
_______________ Д.А.Зубцов
«___»______________ 20___ г.

Рабочая УЧЕБНАЯ Программа

По дисциплине: Избранные главы теории вероятностей
По направлению: 010900 «Прикладные математика и физика»
Профиль подготовки: инфокоммуникационные и вычислительные системы и технологии
Факультет радиотехники и кибернетики
Кафедра проблем передачи и обработки информации
Курсы: 3 и 4 (бакалавриат) 
Семестры: осенний и весенний	Простой зачёт:  6 семестр
						Экзамен: 7 семестр

Трудоёмкость: вариативная часть – 4 зач.ед., 
в том числе:
лекции: вариативная часть – 66 часов
самостоятельная работа: вариативная часть – 33 часа
подготовка к экзамену: вариативная часть – 1 зач.ед.

ВСЕГО АУДИТОРНЫХ часов  66

Программу составили к.т.н. А.А.Сафонов, к.ф.-м.н. А.Н.Соболевский

Программа обсуждена на заседании кафедры 28 мая 2012 года

Заведующий кафедрой							А.П. Кулешов
академик РАН 

Объем учетной нагрузки и виды отчетности

Вариативная часть, в том числе:	  4 зач.ед.
	
Лекции	  66 часов
	
Самостоятельные занятия	  33 часа
	
Промежуточная аттестация
	простой зачет в 6-м семестре	
Итоговая аттестация
	экзамен в 7-м семестре (1 зач.ед.)	
ВСЕГО	4 зач.ед. (99 часов + 1 зач.ед.)	

1.	Цели и задачи дисциплины

Цель дисциплины – освоение студентами избранных глав теории вероятностей, в частности, теории массового обслуживания и теории случайных процессов.
Задачи:
-	фундаментальная подготовка студентов в двух областях теории вероятностей: теории массового обслуживания (ТМО) и теории случайных процессов (ТСП);
-	построение у студентов навыков применения ТМО и ТСП в исследовании телекоммуникационных сетей и систем;
-	оказание консультаций студентам в проведении собственных теоретических и экспериментальных исследований телекоммуникационных сетей и систем.

2.	Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата

Дисциплина «Избранные главы теории вероятностей» включает в себя разделы, которые могут быть отнесены к вариативной части цикла Б.3 УЦ ООП.
Дисциплина «Избранные главы теории вероятностей» базируется на циклах Б.2 и Б.3 в базовой и вариативной частях.

3.	Компетенции, формированию которых способствует освоение дисциплины

Освоение дисциплины «Избранные главы теории вероятностей» способствует формированию следующих общекультурных и общепрофессиональных интегральных компетенций бакалавра:
а) общекультурные (ОК):
-	способность анализировать научные проблемы и физические процессы, использовать на практике фундаментальные знания, полученные в области естественных наук (ОК-1);
-	способность осваивать новую проблематику, терминологию, методологию и овладевать научными знаниями и навыками самостоятельного обучения (ОК-2);
-	способность логически точно, аргументировано и ясно строить устную и письменную речь, формулировать свою точку зрения; владение навыками ведения научной и общекультурной дискуссий (ОК-4).
б) профессиональные (ПК):
-	способность применять в своей профессиональной деятельности знания, полученные в области физических и математических дисциплин, включая дисциплины: информатика, программирование и численные методы; физические основы получения, хранения, обработки и передачи информации; высшая математика (ПК-1);
-	способность понимать сущность задач, поставленных в ходе профессиональной деятельности, и использовать соответствующий физико-математический аппарат для их описания и решения (ПК-3);
-	способность использовать знания в области физических и математических дисциплин для дальнейшего освоения дисциплин в соответствии с профилем подготовки (ПК-4);
-	способность применять теорию и методы математики для построения качественных и количественных моделей (ПК-8);
-	способность работать в коллективе исполнителей над решением конкретных исследовательских и инновационных задач (ПК-9).

4.	Знания, умения и навыки, формированию которых способствует освоение дисциплины

Освоение дисциплины «Избранные главы теории вероятностей» способствует формированию комплекса знаний и навыков, благодаря которым обучающийся должен
а) знать:
-	основные понятия и утверждения теории массового обслуживания (ТМО);
-	основные понятия и утверждения теории случайных процессов (ТСП); 
-	современные направления развития теории вероятностей;
б) уметь:
-	строить математические модели процессов в телекоммуникационных сетях и системах;
-	применять математический аппарат ТМО и ТСП для решения научно-исследовательских задача в области телекоммуникационных сетей и систем.
в) владеть:
-	навыком освоения большого объема информации;
-	навыками постановки научно-исследовательских задач и аналитического моделирования процессов и явлений в области телекоммуникационных сетей и систем.

5.	Структура и содержание дисциплины

Лекции
№ п.п.	Тема	Число аудиторных часов	Число часов самостоятельной работы	
1	Элементарные и составные события. Дискретные случайные величины, их распределения и совместные распределения,  моменты. Маргинальные и условные распределения. Независимые случайные величины. Производящие функции распределения вероятности и моментов.  Поведение производящих функций,  мат. ожидания и дисперсии при сложении независимых случайных величин. Вывод биномиального распределения методом производящих функций. Вывод распределения Пуассона из биномиального распределения методом производящих функций.	2	1	
2	Непрерывные случайные величины. Кумулятивная функция распределения вероятности (к.ф.р.), функция плотности вероятности (ф.п.в.) и характеристическая функция распределения вероятности (х.ф.). Абсолютно непрерывные и сингулярные распределения. Совместное распределение, маргинальные и условные распределения в непрерывном случае, формула полной вероятности, независимость. Поведение х.ф., мат. ожидания и дисперсии при сложении случайных величин. Логарифм х.ф. (характеристический показатель) и кумулянты случайной величины. Экспоненциальное распределение, его характеристическое свойство («сколько ни ждешь, осталось ждать еще столько же»). Гамма-распределение как сумма экспоненциальных распределений.	2	1	
3	Классификация потоков событий. Пуассоновский поток. Поток Пальма. Прореживание пуассоновских потоков. Помеченный пуассоновский поток. Суперпозиция пуассоновских потоков.	2	1	
4	Основные понятия теории массового обслуживания. Формула Литтла. Система М/М/1. Передача в канале без шума и длиной пакетов с экспоненциальным распределением как система M/M/1. Оценка среднего времени ожидания пакета в очереди.	2	1	
5	Передача пакетов равной длины по беспроводному каналу с белым шумом как система B/B/1. Входной поток малой интенсивности как on-off-процесс, передача по каналу как бернуллиевский процесс с вероятностью p, отражающей уровень шума в канале. Оценка среднего и дисперсии времени передачи пакета и пропускной способности канала в зависимости от уровня шума.	2	1	
6	Система M/G/1. Оценка среднего времени ожидания пакета в очереди методом производящих функций.	2	1	
7	Предельные теоремы. Среднее выборки и дисперсия выборки. Неравенства Маркова, Чебышева, закон больших чисел. Слабая сходимость случайных величин. Непрерывность х.ф. относительно слабой сходимости (без доказательства, но с обсуждением основных идей). Центральная предельная теорема (вывод с помощью х.ф.). Закон больших чисел в форме Хинчина (через х.ф.).	2	1	
8	Нормальное распределение и распределение хи-квадрат. Нормальное распределение, гауссовы векторы.  Распределение хи-квадрат, число его степеней свободы. Критерий хи-квадрат. Пример проверки статистической гипотезы: бомбардировки Лондона (по В. Феллеру)	2	1	
9	Цепь Маркова с конечным числом состояний. Граф цепи Маркова и матрица вероятностей перехода.  Стационарное распределение цепи Маркова. Принцип детального равновесия, обратимые цепи Маркова.	4	2	
10	Моделирование процесса переключения сигнально-кодовых конструкций при передаче в беспроводном канале цепью Маркова. Оценка стационарных вероятностей передачи на каждой СКК.	4	2	
11	Обнаружение сетей (network discovery) с помощью биконов. Передача биконов без прослушивания (метод ALOHA) и с прослушиванием беспроводной среды (метод CSMA/CA). Оценка вероятности успешной передачи бикона и среднего числа биконов, переданных за окно передачи.	4	2	
12	Эргодическая теорема для цепей Маркова. Существование и единственность стационарного распределения в общей неприводимой непериодической цепи Маркова.	4	2	
13	Вероятностное пространство, алгебра событий, процессы и потоки алгебр.	2	1	
14	Случайное блуждание и процесс Винера как его предел.	2	1	
15	Описание статистики случайного процесса в терминах корреляционных функций. Теорема Колмогорова (без доказательства).	2	1	
16	Марковскме процессы. Уравнение Смолуховского. Диффузионные процессы и уравнение Фоккера-Планка (с выводом).	4	2	
17	Краевые условия для уравнения Фоккера-Планка. Распределение времени выхода. Равновесное распределение вероятности, обратимость, распределение Гиббса.	2	1	
18	Марковские процессы со скачками. Уравнение Колмогорова-Феллера.	4	2	
19	Уравнение Ланжевена. Процесс Орнштейна-Уленбека.	2	1	
20	Стохастические дифференциальные уравнения. Стохастическое дифференциальное исчисление по Ито и по Стратоновичу.	4	2	
21	Спектральное разложение случайной функции. Стационарные случайные функции, спектральное условие стационарности.	4	2	
22	Теорема Винера-Хинчина. Формула Найквиста, "белый" и "цветной" шум.	4	2	
23	Стационарные случайные процессы и эргодическая теория динамических систем.	4	2	
ВСЕГО	66 часов	33 часа	
ИТОГО	99 часов	
  
Виды самостоятельной работы
№ п.п.	Темы	Количество часов	
1	Изучение теоретического курса – выполняется самостоятельно каждым студентом по итогам каждой из лекций, результаты контролируются преподавателем на лекционных занятиях,  используются конспект (электронный) лекций, учебники, рекомендуемые данной программой.	10	
2	Решение задач по заданию преподавателя – решаются задачи, выданные преподавателем, используются конспект (электронный) лекций, учебники, рекомендуемые данной программой.	23	
3	Подготовка к простому зачету и экзамену	1 зач.ед.	
ВСЕГО	33 час. + 
1 зач.ед.	

6.	Образовательные технологии

№ п/п	Вид занятия	Форма проведения занятий	Цель	
1	Лекция	Изложение теоретического материала	Получение теоретических знаний по дисциплине	
2	Самостоятельная работа студента	Самостоятельная работа	Получение дополнительных знаний и подготовка к зачету и экзамену	

7.	Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов

Перечень контрольных вопросов для сдачи простого зачета в 6-ом семестре
№ п.п.	Тема	
1	Распределение вероятности на множестве натуральных чисел: каким условиям удовлетворяет, как задается (перечислите все известные вам способы), какими параметрами может быть охарактеризовано.	
2	Распределение вероятности на числовой прямой: каким условиям удовлетворяет, как задается (перечислите все известные вам способы), какими параметрами может быть охарактеризовано.	
3	Совместное распределение вероятности нескольких случайных величин. Маргинальные и условные распределения, независимость.	
4	Моменты и кумулянты случайных величин: определения и формулы для выражения одних через другие.	
5	Потоки событий, марковское свойство и рекуррентность	
6	Основные понятия теории массового обслуживания	
7	Передача в канале без шума и длиной пакетов с экспоненциальным распределением как система M/M/1	
8	Передача пакетов равной длины по беспроводному каналу с белым шумом как система B/B/1	
9	Система M/G/1. Оценка среднего времени ожидания пакета в очереди методом производящих функций.	
10	Закон больших чисел (формулировка и доказательство при помощи неравенства Чебышева).	
11	Центральная предельная теорема (формулировка и доказательство сходимости к характеристической функции нормального распределения).	
12	Серия однотипных вопросов о каждом из основных распределений, встречающихся при решении задач: биномиальное, распределение Пуассона, геометрическое, отрицательное биномиальное, экспоненциальное, гамма-распределение, нормальное распределение, распределение хи-квадрат, распределение Коши. Для каждого распределения надо дать определение или описание вероятностного эксперимента, приводящего к появлению случайной величины, распределенной по данному закону, вид функции плотности вероятности и характеристической функции, формулы для основных статистических характеристик (мат. ожидание, дисперсия, кумулянты первых четырех порядков).	
13	Цепь Маркова с конечным числом состояний: определение при помощи помеченного графа и матрицы, вероятности перехода и маргинальные вероятности, стационарные распределения.	
14	Моделирование процесса переключения сигнально-кодовых конструкций при передаче в беспроводном канале цепью Маркова.	
15	Передача биконов без прослушивания беспроводной среды (метод ALOHA)	
16	Передача биконов с прослушиванием беспроводной среды (метод CSMA/CA)	
17	Эргодическая теорема для цепей Маркова: классификация состояний и доказательство для неприводимой нециклической цепи.	

Перечень контрольных вопросов для сдачи экзамена  в 7-ом семестре
В программу экзамена включаются вопросы 2, 3, 5-9. 11, 13, 17 из программы зачета.	
18	Вероятностное пространство, алгебра событий, процессы и потоки алгебр.	
19	Случайное блуждание и процесс Винера как его предел.	
20	Описание статистики случайного процесса в терминах корреляционных функций. Теорема Колмогорова (без доказательства)	
21	Марковские процессы. Уравнение Смолуховского. Условия, при которых оно переходит в уравнение Фоккера-Планка (диффузионный процесс), и вывод последнего уравнения из уравнения Смолуховского.	
23	Равновесное распределение вероятности, обратимость, распределение Гиббса.	
24	Марковские процессы со скачками. Уравнение Колмогорова-Феллера	
25	Уравнение Ланжевена для импульса броуновской частицы («поршень Рэлея»). Процесс Орнштейна-Уленбека.	
26	Стохастические дифференциальные уравнения. Стохастический  дифференциал Ито. Примеры стохастических дифференциалов.	
27	Спектральное разложение случайной функции. Стационарные случайные функции, спектральное условие стационарности	
28	Теорема Винера-Хинчина. Формула Найквиста, "белый" и "цветной" шум	
29	Стационарные случайные процессы и эргодическая теория динамических систем	

8.	Материально-техническое обеспечение дисциплины

Необходимое оборудование для лекций  и практических занятий: доска, ноутбук и мультимедийное оборудование (проектор или плазменная панель).
Обеспечение самостоятельной работы: электронные ресурсы, включая доступ к базам данных: 
-	Statistics 110: Probability by Harvard University, http://itunes.apple.com/us/course/statistics-110-probability/id502492375

9.	Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

Основная литература

1.	Ширяев А.Н. Вероятность. Любое издание.
2.	Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Любое издание.
Дополнительная литература
1.	Ван Кампен Н.Г. Стохастические процессы в физике и химии. М.: Высшая школа. 1990.
2.	Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках. М.: Мир, 1986.
3.	Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику. М.: Наука, 1986.

Пособия и методические указания

Рекомендуются следующие сборники задач:
1.	Ширяев А. Н. Задачи по теории вероятностей. М.: МЦНМО, 2011.
2.	Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Любое издание (разделы задач в конце каждой главы).
3.	Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика: Основание информатики. М.: Мир, 1998. Гл. 7, 8 и задачи к ним.
4.	Ван Кампен Н. Г. Стохастические процессы в физике и химии. М.: Высшая школа, 1990  (разделы задач в конце каждой главы).