Семинары >> Архив >> Семинар Сектора №4.1
2010
Среда, 27 октября, в 12:00, ауд. 307 ИППИ РАН
Слабо симметрические пространства и сферические многообразия Штейна
Cлабо симметрические пространства были введены А.Сельбергом более 50 лет тому назад в связи со знаменитой формулой следа. Их основным свойством, важным для доказательства этой формулы, является коммутативность алгебры инвариантных дифференциальных операторов. Как выяснилось в работе Э.Б.Винберга и докладчика, для редуктивных групп это свойство характеризует слабо симметрические пространства. При этом было доказано, что слабо симметрические пространства вещественных редуктивных групп находятся в естественном соответствии с аффинными сферическими однородными пространствами комплексных редуктивных групп. Будет рассказано об этом соответствии и о так называемых сферических многообразиях Штейна связных компактных групп Ли. В частности, будет получена характеризация этих многообразий в терминах специальных антиголоморфных инволюций.
Пятница, 22 октября, в 12:00, ауд. 307 ИППИ РАН
Станислав Федотов
Доклад: Пространства модулей представлений колчанов и их реализации.
Аннотация: Доклад посвящен изложению различных подходов к классификации представлений колчанов. Будет рассмотрен вопрос о числе параметров, задающих типичные классы изоморфизма представлений с данным вектором размерности. Для некоторых простых случаев мы в явном виде опишем эти классы. Поскольку для большинства колчанов проблема классификации в ее "наивной" постановке принципиально неразрешима, мы далее обратимся к рассмотрению различных подходов, предлагаемых теорией инвариантов. В первую очередь здесь будут пояснены причины несостоятельности классического метода, связанного с построением категорного фактора. Мы обсудим две возможности выйти из этого тупика: конструкцию Кинга, представляющую собой адаптацию идей Мамфорда к рассматриваемой задаче, и переход к оснащенным представлениям. Кроме того, будет рассказано о существующих вариантах реализации факторов как грассманианов подпредставлений в некоторых представлениях данного колчана, симплектические реализации, в том числе многообразия Накаджимы. Интересной представляется конструкция, предложенная для пространства модулей оснащенных представлений колчана без ориентированных циклов Маркусом Райнеке; мы сформулируем его результаты и предложим несколько возможных направлений их обобщения.
Пятница, 8 октября, в 12:00, ауд. 307 ИППИ РАН
Докладчик: Аржанцев И.В.
Вложения однородных пространств и геометрическая теория инвариантов
Доклад посвящен применениям комбинаторных методов геометрической теории инвариантов и теории колец Кокса к задачам теории алгебраических групп преобразований. Будут рассмотрены аффинные вложения однородных пространств и вложения с малой границей. Среди прочего, это позволит описать все аффинные G-алгебры, в которых каждая инвариантная подалгебра конечно порождена. Мы исследуем свойство факториальности для колец Кокса и получаем комбинаторную и геометрическую характеризацию сюръективности отображения умножения на однородных компонентах аффинной алгебры градуированной решеткой конечного ранга. Также будет дано комбинаторное описание максимальных открытых подмножеств данного G-многообразия, допускающих хороший фактор с определенными условиями на факторпространство. Комбинаторика, возникающая из конструкции Кокса, двойственна по Гейлу к классическому заданию торических многообразий в терминах вееров полиэдральных конусов. Этот подход оказывается более эффективным при описании свойств многообразия, связанных с дивизорами на нем. Часть результатов доклада получена в совместных работах с Дмитрием Тимашевым и Юргеном Хаузеном.
Четверг, 29 апреля, в 14:00, ауд. 307 ИППИ РАН
Докладчик: В. Шехтман
Модальные логики предикатов и их модели
Модели модальных логик предикатов можно представлять себе как "динамический аналог" моделей классической логики, т.е. как "многообразия" алгебраических систем. Имеется несколько способов уточнения этого понятия - на основе пучков, расслоений и др. конструкций. В докладе буден дан краткий обзор соответствующих определений и результатов.
Вторник, 20 апреля, в 12:00, ауд. 307 ИППИ РАН
Докладчик: С. Рыбаков
Конечные групповые подсхемы абелевых многообразий над конечными полями и лемма Гензеля для матриц.
Сначала я расскажу как отвечать на следующий вопрос. Пусть дана квадрантная матрица N над конечным полем из p элементов, и многочлен с p-адическими коэффициентами, который по модулю p зануляет матрицу N (предполагается, что степень многочлена равна размеру матрицы). Можно ли найти такую матрицу M, сравнимую с N по модулю p, что f(M)=0?
Далее я напомню основные результаты об абелевых многообразиях над конечными полями и расскажу как при помощи результатов первой части доклада можно описывать некоторые групповые подсхемы этих абелевых многообразий.
Вторник, 6 апреля, в 12:00 (ВНИМАНИЕ! другое время и день), ауд. 307 ИППИ РАН
Докладчик: Леонид Посицельский
Тема: Экзотические производные категории
Аннотация: В классической гомологической алгебре обычно рассматривалисьпроизводные категории комплексов, ограниченных сверху или снизу. Припереходе к неограниченным комплексам ситуация усложняется; и аналогичныетрудности возникают при переходе от комплексов модулей к DG-модулям,даже если рассматривать только полностью конечномерные DG-модули.Хорошо известный способ преодолевать эти трудности был разработанв конце 80-х -- начале 90-х годов в работах Спалтенштейна, Келлера и Бернштейна-Лунца. В настоящее время известно, что есть и другой способ,ведущий к другим производным категориям. Производные категории второгорода возникают при построении неоднородной кошулевой двойственностии вообще при работе с коалгебрами. Об этом будет рассказано в докладе.
Среда, 31 марта, в 14:00 (ВНИМАНИЕ! другое время), ауд. 307 ИППИ РАН
Докладчик: Александр Самохин
Локализация g-модулей в положительной характеристике.
Локализация Бейлинсона-Бернштейна устанавливает эквивалентность абелевой категории некоторых представлений полупростой алгебры Ли над полем комплексных чисел и абелевой категории (скрученных) D-модулей на многообразии флагов соответствующей группы Ли. В простой характеристике эквивалентность абелевых категорий не имеет места, но сохраняется на уровне производных категорий, при некоторых ограничениях на характеристику основного поля (теорема Безрукавникова-Мирковича-Румынина). Аналогом дифференциальных операторов в этом случае являются кристаллические дифференциальные операторы. Как и классическая, так и производная теоремы локализации имеют много важных следствий для теории представлений алгебр Ли над основным полем (например, доказательства гипотезы Каждана-Люстига в случае нулевой характеристики и гипотезы Люстига в случае простой характеристики). В докладе будут обсуждаться D-модули над пучком всех дифференциальных операторов, содержащим разделенные степени, и вопрос о локализации таких D-модулей. Про такую локализацию известно крайне мало; тем не менее, было бы полезно выяснить, при каких предположениях она выполнена. Я расскажу о положении дел на настоящий момент и о сопутствующих вопросах. Все необходимые понятия и определения будут напомнены в ходе доклада.
Среда, 24 марта, в 16:00, ауд. 307 ИППИ РАН
Докладчик: Александр Гайфуллин.
Комбинаторные формулы для классов Понтрягина триангулированных многообразий
Классы Понтрягина являются важнейшими инвариантами гладких многообразий. В конце 1950-х годов В.А. Рохлиным и А.С. Шварцем и, независимо, Р. Томом было доказано, что рациональные классы Понтрягина инвариантны относительно кусочно линейных гомеоморфизмов. (Позже С.П. Новиков доказал гораздо более сильный результат о топологической инвариантности рациональных классов Понтрягина.) В связи с этим естественно возникла задача о явном комбинаторном вычислении рациональных классов Понтрягина многообразия по его триангуляции. В докладе будет рассказано об истории этой задачи, начиная с классической работы А.М. Габриэлова, И.М. Гельфанда и М.В. Лосика (1975), до недавних работ автора (2004-2008), в которых была систематически построена теория локальных формул для характеристических классов триангулированных многообразий и построена явная комбинаторная формула для первого класса Понтрягина, основанная на теории бизвездных преобразований Пахнера.
Среда, 10 марта в 16:00, ауд. 307 ИППИ РАН
Докладчик: Алексей Елагин
Производные категории эквивариантных пучков (продолжение).
Понедельник, 1 марта в 15:00, ауд. 307 ИППИ РАН
Докладчик: Алексей Елагин
Производные категории эквивариантных пучков.
Замечательным инвариантомалгебраического многообразия является производная категория когерентныхпучков на нём. Если на многообразии действует группа, можно такжерассмотреть производную категорию эквивариантных когерентных пучков. Вслучае свободного действия она совпадает с производной категориейфактора, вообще же является заменой последней и обладает более хорошимисвойствами. Производные категории эквивариантных пучков возникают вгеометрии как один из способов описания соответствия Маккея, приизучении многообразий модулей, в категорном разрешении особенностей.Изучение производной категории эквивариантных пучков - это изучениегеометрии фактора исходя из геометрии исходного многообразия. Ярасскажу об одном способе описания эквивариантных производных категорийв терминах производных категорий самого многообразия. В докладепланируется уделить внимание примерам и мотивирующим соображениям.
2009
Пятница, 16 октября в 14:00, ауд. 307 ИППИ РАН
Докладчик: М. Скопенков
Случайные блуждания, электрические цепи,разрезания на многогранники.
Среда, 7 октября в 14:00, ауд. 307 ИППИ РАН
Докладчик: Валентина Кириченко
Сферические многообразия и многогранники Ньютона.
Аннотация: В случае торического многообразия, многие егогеометрическиеинварианты можно явно найти через комбинаторные инвариантымногогранника Ньютона, связанного с многообразием. Теориюмногогранников Ньютона (как средство изучения торических многообразий) можно частично перенести на более общий класс многообразий - на такназываемые сферические многообразия. Наиболее изученные примеры сферических многообразий - это многообразия флагов и торическиемногообразия. Сначала я напомню некоторые классические результаты теории многогранников Ньютона в случае торических многообразий (например, индекс самопересечения дивизора на торическом многообразииравен нормализованному объёму соответствующего многогранника Ньютона). Затем я расскажу, как перенести некоторые из этих результатов наслучай, когда вместо торического многообразия рассматривается регулярная компактификация произвольной редуктивной группы (точноеопределение будет дано в докладе). Регулярные компактификации - ближайшие родственники торических многообразий. На примере регулярныхкомпактификаций я объясню, почему многообразия флагов важны для изучения более общих сферических многообразий. Наконец, я расскажу просвязь между исчислением Шуберта на многообразии полных флагов и комбинаторикой многогранников Гельфанда-Цетлина. Для понимания докладане требуется никаких специальных знаний по теории сферическихмногообразий.
Вторник, 25 августа, ауд. 307 ИППИ РАН
1) 25 августа (вторник) в 12:00
Докладчик: С.Г. Влэдуц
НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ОТСЧЕТОВ И (ДЕ)КОДИРОВАНИЕ НАД R.
В докладе дается обзор теории сжатия разреженных данных (compressive sampling=compressed sensing), или нелинейной теории отсчетов Котельникова-Найквиста-Шеннона, включая недавние прорывные результаты, связывающие ее с (де)кодированием кодов над R, выпуклым программированием, принципом неопределенности, геометрией многомерных полиэдров и т.д.
2) 25 августа (вторник) в 14:00
Докладчик: Д.Ю.Логачев (Каракас, Венесуэла)
Аналогия между Т-мотивами Андерсона и абелевыми многообразиями - источник новых результатов для абелевых многообразий
Abstract: Т-мотивы Андерсона - это многомерное обобщение модулейДринфельда. Они зависят от двух параметров - размерности $n$ и ранга$r$ (модуль Дринфельда - это Т-мотив Андерсона с $r=1$). Показано, чточисловой аналог Т-мотива Андерсона - это абелево многообразиеразмерности $r$ с умножением на мнимое квадратичное поле $K$, сигнатуры$(n,r-n)$. Эта аналогия служит источником двух новых элементарныхрезультатов для этих абелевых многообразий. Во-первых, мы сопоставляемтакому многообразию (грубо говоря) $r$-мерный $K$-модуль в $C^n$ - а нев $C^r$, как естественно ожидать. Во-вторых, если $n=1$, то можноопределить внешние степени этих многообразий. Будут поставлены вопросыо дальнейшем использовании этой аналогии для получения новыхрезультатов. Для понимания результатов, относящихся к абелевымногообразиям, не требуется знание того, что такое модуль Дринфельда иТ-мотив Андерсона, более того, достаточно лишь знать аналитическоеопределение абелева многообразия (что это - решётка в $C^r$ + формаполяризации на $C^r$).
| 
