Пятничный семинар (ИППИ, Б. Каретный, д.19-1)
15 июля 2022 (пт), начало в 15.00, ауд. 307
Дмитрий Гугнин (Мехмат МГУ, МИАН)
“nH-пространства и n-значные топологические группы”
Аннотация: Пусть X --- хаусдорфово линейно-связное топологическое пространство. Под n-значным умножением понимается произвольное непрерывное отображение * из XxX в симметрическую степень Sym^n(X) = X^n/S_n. Пара (X,*) называется nH-пространством, если выполнена следующая n-значная аксиома единицы: существует элемент e из X такой, что e*x = x*e = [x,x,...,x] для всех x из X. 1H-пространство --- это обычное H-пространство, понимаемое в широком смысле, то есть без аксиом гомотопической ассоциативности и обратного отображения.
Легко понять, что если данное пространство X допускает структуры nH-пространства и mH-пространства, то оно также допускает структуру (n+m)H-пространства. Далее мы будем ограничиваться случаем, когда X --- конечный связный CW-комплекс. Если фундаментальная группа pi_1(X) совершенная, то есть H_1(X;Z)=0, то можно показать, что X допускает структуру nH-пространства для всех n >= dim(X). Если же фундаментальная группа pi_1(X) имеет нетривиальную абеалинизацию, то вопрос о том, существует ли на пространстве X структура nH-пространства хотя бы для какого-либо натурального n, является открытым.
Если к n-значной аксиоме единицы добавить аксиому n-значной ассоциативности (x*y)*z = x*(y*z) (совпадение двух n^2-элементных мультимножеств), и аксиому обратного отображения (здесь есть несколько вариантов определения), то получится понятие n-значной топологической группы. Первый пример 2-значной топологической группы, отличный от H-пространства, это сфера S^2 (В.М.Бухштабер, 1990 г.). Собственно, с этого примера и началась история nH-пространств и n-значных групп. На комплексном проективном пространстве CP^m существует структура (m+1)!-значной топологической группы (В.М.Бухштабер, 2006 г.). При этом для всех m>=2, на CP^m нет структуры 2H-пространства (m=2, В.М.Бухштабер, 1996 г.; m>=3, Г., 2012 г.).
В 2022 г. автором было доказано, что приведенная надстройка X= \Sigma Y, над любым конечным связным CW-комплексом Y, является nH-пространством для всех n>=2. Тем же свойством обладает и любая сглаживаемая гомологическая сфера \Sigma^m, m >= 3, а также RP^m, m>=2 (Г., 2022). На настоящей сфере S^m, m >= 2, существует структура 2^(m-1)-значной топологической группы (Г., 2019).
В докладе будет рассказано о методах получения отрицательных результатов (то есть запрещающих структуру nH-пространства), а также о конструкциях, дающих примеры nH-пространств и n-значных топологических групп.
| 14.07.2022 | |