В пятницу 07 ноября в 15:00 на семинаре лаб 4 имени Добрушина Алексей Петухов (ИППИ) прочтет первую часть доклада о представлениях симметрических и унипотентных групп. Ауд. 615 + трансляция. Обратите внимание на нестандартное для семинара время!
%
Представления симметрических и унипотентных групп
%
Про что это:
%
В своём докладе хочу дать некое введение в теорию представлений на примере симметрической группы и унипотентных групп. Напомню, что представлением той или иной группы G называется набор линейных операторов для некоторого векторного пространства W, задаваемых гомоморфизмом из группы G в автоморфизмы W. Оказывается, что все такие гомоморфизмы допускают более-менее явное описание. Самый простой (но важный) пример такого действия - это действие симметрической группы S_n на тензорном произведении $V\otimes V\otimes...\otimes V$ ($n$ копий произвольного векторного пространства V).
%
Мы быстренько вспомним теорию представлений симметрических групп S_2, S_3, обсудим роль классов сопряжённости для представлений общих конечных групп. Потом перейдём к симметрической группе S_n и проговорим как устроен базис Гельфанда-Цетлина для них в терминах полустандартных таблиц Юнга.
%
Дальше мы поговорим о том, как устроены представления унипотентных групп в гильбертовых пространствах и начнём с трёхмерной группы Гейзенберга, а потом перейдём к примеру верхнетреугольных матриц. Оказывается, что такие представления допускают описание, чем-то напоминающее описание для конечных групп, но вместо классов сопряжённости в самой группе нужно брать коприсоединённые орбиты (орбиты действия группы в кокасательном пространстве к единице группы). Мы обсудим как выглядят такие орбиты для группы Гейзенберга и для верхнетреугольных матриц. Мы так же обсудим концепцию поляризации линейных форм, которая позволяет явно строить представления унипотентных групп как L^2(X) для подходящего пространства X с действием исходной группы.
%
Ну и в самом конце я тезисно (с табличками) проговорю устроена классификация коприсоединённых орбит размерностей 2, 4, 6 для верхнетругольных матриц (результат моей последней статьи).
%
Вторая часть доклада вероятна в пятницу 28 ноября 2025г.
%
Подключиться к конференции Zoom
https://us06web.zoom.us/j/81278592673?pwd=OAQ2RHggg22mst0ctFsassLg1ObFOO.1
%
Идентификатор конференции: 812 7859 2673
Код доступа: 098086
%
Просьба подключаться под своими именем и фамилией, это важно для безопасности встречи. Участники со скрытыми фамилиями и неизвестными никами могут быть отключены.
%
Title: Representations of Symmetric and Unipotent Groups
Abstract:
This talk will serve as an introduction to representation theory, using the symmetric group and unipotent groups as our key examples. Recall that a representation of a group G is a set of linear operators on a vector space W, defined by a homomorphism from G into the automorphisms of W. It turns out that all such homomorphisms admit a more or less explicit description.
We will begin with the simplest (yet important) example: the action of the symmetric group S_n on the tensor product $V \otimes V \otimes ... \otimes V$ ($n$ copies of an arbitrary vector space V). We will briefly review the representation theory of the symmetric groups S₂ and S₃, and discuss the role of conjugacy classes for representations of general finite groups. Then, we will move on to the symmetric group S_n and describe the Gelfand-Zetlin basis in terms of semistandard Young tableaux.
Next, we will discuss the structure of representations of unipotent groups in Hilbert spaces, starting with the three-dimensional Heisenberg group and then moving to the example of upper-triangular matrices. It turns out that such representations also admit a description somewhat reminiscent of that for finite groups; however, instead of conjugacy classes within the group itself, one must consider coadjoint orbits (the orbits of the group"s action on the co-tangent space at the identity). We will examine what these orbits look like for the Heisenberg group and for upper-triangular matrices. We will also discuss the concept of polarizing linear forms, which allows for the explicit construction of unipotent group representations as L²(X) for a suitable space X with an action of the original group.
Finally, I will briefly outline (with the aid of tables) the classification of coadjoint orbits of dimensions 2, 4, and 6 for upper-triangular matrices—a result from my most recent paper.
| 06.11.2025 | Веретенников Александр Юрьевич |