Войти
Логин:
Пароль:
Забыли пароль?
научная деятельность
структура институтаобразовательные проектыпериодические изданиясотрудники институтапресс-центрконтакты
русский | english
Научные подразделения >> Сектор № 4.1 >> Сектор 4.1 - старая версия страницы.

СЕКТОР № 4.1

Сектор алгебры и теории чисел

Добрушинской математической лаборатории

Старая версия страницы

Заведующий сектором – д.ф.-м.н. Цфасман Михаил Анатольевич

Тел.: (495) 699-83-54, E-mail: MTsfasman@yandex.ru

Сотрудники лаборатории:

д.ф.-м.н.

Ахиезер Д.Н.

тттттттт

PhD

Финкельберг М.В.

д.ф.-м.н.

Бородин А.М.


PhD

Посицельский Л.Е.

д.ф.-м.н., чл.-корр.

Бухштабер В.М.


к.ф.-м.н.

Вишик А.С.

д.ф.-м.н.

Кириллов А.А.


к.ф.-м.н.

Влэдуц С.Г.

д.ф.-м.н.

Маргулис Г.А.


к.ф.-м.н.

Ногин Д.Ю.

д.ф.-м.н.

Ольшанский Г.И.


к.ф.-м.н.

Окуньков А.Ю.

д.ф.-м.н.

Панюшев Д.И.


к.ф.-м.н.

Панов Т.Е.

д.ф.-м.н.

Цфасман М.А.


к.ф.-м.н.

Полякова Ю.М.

д.ф.-м.н.

Шехтман В.Б.



Гайфулин А.А.

PhD

Концевич М.Л.



Рыбаков С.Ю.

PhD

Ровинский М.З.



Шапировский И.Б.

PhD

Самохин А.В.




 

В секторе работают 3 лауреата медали Филдса (Г.А. Маргулис, М.Л. Концевич и А.Ю. Окуньков), лауреаты премии IEEE (С.Г. Влэдуц, М.А. Цфасман), лауреаты премии P.Deligne'а (М.З. Ровинский. Л.Е. Посицельский).

Часть сотрудников совмещает работу в ИППИ РАН с работой в других научных и учебных учреждениях: Бородин А.М. – Caltech, Бухштабер В.М. – МИАН и МГУ, Кириллов А.А. – Univ. of Pennsylvania, Маргулис Г.А. – Yale Univ., Цфасман М.А. – НМУ и CNRS, Концевич М.Л. – IHES, Финкельберг М.В. – ГУ ВШЭ, Вишик А.С. – Univ. of Nottingham, Влэдуц С.Г. – Univ. de Mediterranee, Окуньков А.Ю. – Princeton Univ., Панов Т.Е. – МГУ, Гайфулин А.А. – МГУ.

Сектор алгебры и теории чисел создан в составе Добрушинской математической лаборатории в 2007 году по решению Ученого совета Института.

Научная деятельность сектора проводится в рамках направления научной работы ИППИ РАН: Математическая теория информации и управления, многокомпонентные случайные системы, в части, активно использующей алгебру, теорию чисел, алгебраическую геометрию, алгебраическую топологию и математическую логику.

В последние годы сотрудниками Лаборатории были получены следующие результаты:

·        Создана теория бесконечных глобальных полей (М.А. Цфасман, С.Г. Влэдуц).

·        Найдены новые верхние и нижние границы для инварианта Эйлера–Кронекера. Этот классический параметр числовых и функциональных полей особенно важен в связи с недавно развитой асимптотической теорией глобальных полей (Цфасман–Влэдуц–Ихара) и в связи с нуждами теории кодов с исправлением ошибок. Полученные оценки значительно улучшают оценки, найденные Ихарой (М.А. Цфасман).

·     Доказаны аналоги теоремы Брауэра–Зигеля для постоянных семейств абелевых многообразий (М.А. Цфасман, Б.Э. Кунявский, А. Зыкин).  

·        Классифицированы дзета-функции кривых рода 3 над конечными полями, якобиан которых изогенен произведению несуперсингулярной эллиптической кривой и абсолютно неприводимой абелевой поверхности. Вычислены дзета-функции биэллип¬тических и куммеровых поверхностей над конечными полями (С.Ю. Рыбаков).

·        Введены когомологические операции нового типа в алгебраических кобордизмах. Изучены их свойства. Приложения включают: вычисление обобщённого дискретного инварианта квадрик, вычисление кольца алгебраических кобордизмов некоторых неклеточных однородных многообразий, поведение свойства рациональности цикла при расширении полей, вопрос сглаживаемости циклов (А.С. Вишик).

·        Построены поля с u-инвариантом 2r+1, r>3. Нахождение возможных значений u-инварианта является важной задачей теории квадратичных форм, поставленной гипотезой Капланского в 1953 г. Ранее были известны только значения 2n, 1 и 9. Создана конструкция, которая даёт все известные значения. Введён новый важный дискретный инвариант квадрик, так называемый, «элементарный дискретный инвариант». Изучены различные его свойства. Установлена связь «симметрических операций» с операциями Стинрода в алгебраических кобордизмах (А.С. Вишик).

·        Найдены некоторые собственные значения оператора Лапласа на графе Кэли группы Кокстера с системой образующих Кокстера, известные ранее для случая симметрической группы. Получена верхняя оценка наименьшего положительного собственного значения, зависящая от числа Кокстера (Д.Н. Ахиезер).

·        Распространено понятие сферического алгебраического многообразия на штейновы пространства с действием компактной связной группы Ли K. Для сферического штейнова пространства X доказано, что алгебра голоморфных K-инвариантных дифференциальных операторов на X есть алгебра многочленов. Вычислено число образующих этой алгебры. Оно оказалось равным размерности пространства K-орбит пространства X. Продолжено изучение антиголоморфных инволюций сферических многообразий Штейна. Доказано, что аффинное однородное пространство связной редуктивной алгебраической группы является сферическим многообразием тогда и только тогда, когда на нем существует антиголоморфная инволюция, переводящая в себя каждую орбиту максимальной компактной подгруппы К транзитивно действующей комплексной группы. Получено обобщение этого результата на К-инвариантные области в аффинных однородных про-странствах (Д.Н. Ахиезер).

·       С помощью исключительных наборов описаны производные категории когерентных пучков на некоторых однородных пространствах групп Ли и на их гиперплоских сечениях. Доказана теорема об обращении в нуль для пучка дифференциальных операторов с разделенными степенями в ненулевой характеристике. С ее помощью были построены наклонные объекты в производных категориях когерентных пучков на некоторых многообразиях Фано, включая трехмерные торические многообразия и некоторые рациональные поверхности. Наклонные объекты позволяют построить эквивалентность производной категории когерентных пучков и производной категорией модулей над некоммутативной алгеброй (А.В. Самохин).

·        Доказано обобщение теоремы Реиса. Пусть g – простая алгебра Ли типа A или C. Показано, что коприсоединенное представление всякой водорослевой подалгебры имеет свойства аналогичные свойствам присоединенных представлений редуктивных алгебр Ли. А именно, поле инвариантов рационально и существует общий стабилизатор, в котором единичная компонента связности является тором. Основным инструментом здесь является результат относительно коприсоединенных представлений некоторых N-градуированных алгебр Ли, который можно воспринимать как обобщение теоремы Рейса об индексе полупрямых произведений. Для прочих типов простых алгебр дается единое описание парабо-лической подалгебры такой, что у ее коприсоединенного представления нет общего стабилизатора. Получено полное описание Z2-градуированных простых алгебр Ли, таких, что всякая коммутативная подалгебра в g1 порождает сферическую орбиту группы изотропии (Д.И. Панюшев).

·         Найдены новые примеры приводимых и неприводимых коммутаторных многообразий ассоциированных с инволюциями полупростых алгебр Ли. Получены новые прило-жения формулы Партасарати, Ранга Рао и Варадарайана для разложения тензорных произведений неприводимых представлений полупростых алгебр Ли (Д.И.Панюшев).

·         Проведено параллельное исследование модальных логик регионов в пространстве и релятивистских временных логик. Получены результаты о полноте, финитной аппрок-симируемости, разрешимости для логик пространства Минковского и для модальных логики регионов. Описан ряд интервальных и региональных модальных логик, аксиоматизирующих отношения включения, компактного включения, и обратных к ним, для различных систем множеств, таких как шары, прямоугольные области, регулярные области в n-мерном действительном пространстве; в дальнейшем эти результаты были перенесены на случай так называемых насыщенных множеств регионов (в частности, насыщенным явля-ется всякое непустое множество выпуклых регионов, замкнутое относительно гомотетий). Для этих логик построены конечные системы аксиом, показана финитная аксиоматизируемость и PSPACE-полнота. С другой стороны, для логик симметричных замыканий этих связок (и дополнений к ним) доказано отсутствие конечной аксиоматизируемости. Неразрешимость (или даже неперечислимость) полимодальных логик региональных структур переносится на релятивистские временные логики. Описана взаимосвязь между модальными логиками регионов и «информационной семантикой» интуиционистской пропозициональной логики, предложенной Медведевым. Работы в этой области велись во взаимодействии с французскими коллегами из Института исследований по информатике Тулузы (IRIT) (P. Balbiani, A. Herzig, O. Gasquet, И.Б. Шапировский, В.Б. Шехтман).

·         Исследованы различные понятия компактности и полноты в топологической семантике модальных и суперинтуиционистских логик высказываний. Доказана теорема об N-компактности для всех расширений GL и Grz. С другой стороны, построены примеры TKN-некомпактных логик разных типов; на основе их получено простое доказательство того, что топологическая семантика сильнее семантики Крипке (В.Б. Шехтман).

·         Построена новая, более общая версия известного в модальной логике метода фильтраций. Новый метод основан на отношении бисимуляции (подобия) между отдельными частями исходной модели; он существенно обобщает более ранний вариант (В.Б. Шехтман).

·         Развит новый метод построения топологических пространств с неполными по Крипке модальными и промежуточными логиками, основанный на конструкции ультра-букета (В.Б. Шехтман).

·         Получен ряд результатов о переносе свойств транзитивных модальных логик при добавлении универсальной модальности. Было показано, что при рассмотрении логик транзитивных антинаправленных шкал с универсальным отношением, сохраняется Крипке-полнота, финитная аппроксимируемость, алгоритмическая сложность (И.Б. Шапировский).

·         Получено семантическое достаточное условие PSPACE-разрешимости модальных логик: если логика характеризуется древовидными структурами специального вида, то она PSPACE-разрешима. Предложенный подход, с одной стороны, применим для широкого класса модальных логик, с другой – позволяет строить относительно простые алго-ритмы верификации формул в модальных логиках (И.Б. Шапировский).

·         Даны новые доказательства асимптотических верхних границ теории кодирования, получаемых в рамках метода линейного программирования Дельсарта. Доказательства основаны на изучении собственных векторов некоторых конечномерных операторов, связанных с ортогональными многочленами. В качестве примеров применения данного метода рассмотрены двоичные коды, двоичные равновесные коды, сферические коды и коды в проективных пространствах (Д.Ю. Ногин, А. Барг).

·         Получена асимптотическая граница типа Элайеса для кодов в грассмановых пространствах с хордальной метрикой. Используется изометрическое вложение грассманова пространства в сферу в комбинации с методом плотностей Блихфельда (Д.Ю. Ногин, А. Барг).

·         Предложен функционально-аналитический подход к методу линейнго программирования Дельсарта. Показано, что ядра Кристофеля–Дарбу и связанные с ними многочлены Левенштейна возникают как стационарные точки функционалов моментов некоторых распределений (Д.Ю. Ногин, А. Барг).

·         Получено решение классической задачи построения алгебры Ли дифференцирования поля абелевых функций на якобианах плоских алгебраических кривых. В терминах сигма-функций (n,s)-кривых дано эффективное построение образующих этой алгебры Ли и их коммутационных соотношений. Эти результаты были востребованы теорией интегрируемых систем и уже нашли приложения, в том числе в теории многообразий Фробениуса (В.М. Бухштабер, Д.В. Лейкин).

·         Методы торической топологии применены к исследованию комбинаторики многогранников Сташефа. Показано, что производящая функция U(t,x) чисел k-мерных граней n-мерных многогранников Сташефа удовлетворяет уравнению Бюргерса–Хопфа Ut = UUx. В качестве приложения показано, что известные соотношения Дэна–Соммервилля (аналог двойственности Пуанкаре для торических многообразий) вытекают из теоремы единственности задачи Коши для квазилинейных дифференциальных уравнений, а известная формула Кэли о числе k-мерных граней n-мерного многогранника Сташефа является следствием законов сохранения для уравнения Бюргерса–Хопфа (В.М. Бухштабер, Е.В. Корицкая).

·         Построено дифференцирование кольца простых многранников и изучены его свойства. Дано описание ряда важных серий простых многранников и вычисление прозводящих функций этих серий в терминах дифференциальных уравнений над кольцом простых многранников. Введён комбинаторный аналог двупараметрического рода Тодда и исследованы его приложения (В.М. Бухштабер).

·         Получены формулы для универсального торического рода стабильно комплексных многообразий M2n с действием тора Tk. В случае действия с изолированными непод-вижными точками ответ дан в терминах весов и знаков представления тора в касательных пространствах к неподвижным точкам. Веса и знаки явно вычислены для всех квазиторических многообразий в терминах комбинаторных данных (в том числе для неособых торических многообразий) (В.М. Бухштабер, Т.Е. Панов, Н. Рэй). Также веса и знаки явно вычислены для однородных пространств G/H в терминах теории представлений, где G – компактная связная группа Ли, а H – ее компактная связная подгруппа максимального ранга. В качестве приложения вычислены классы кобордизмов важных многообразий в терминах их характеристических чисел Черна (В.М. Бухштабер, С. Терзич).

·         Описана структура многомерных формальных групп, ассоциированных с К-теориями Моравы пространств Эйленберга–Маклейна. Центральный результат: Каждая формальная группа в совокупности {K(n)*K(Z,q), q = 2,3,…} для данного n встречается вместе с двойственной ей по Серру p-делимой группой. Получено описание класса изогении каждой из этих формальных групп над алгебраически замкнутым полем (В.М. Бухштабер, А. Лазарев).

·         Доказано, что функторы классифицирующего пространства и пространства петель коммутируют с функтором гомотопического прямого предела (с классическим функ-тором прямого предела они не коммутируют). В качестве следствия получены модели пространств петель на момент-угол комплексах и их конструкциях Бореля – пространствах Дэвиса–Янушкиевича – в виде гомотопических прямых пределов диаграмм торов в категории топологических групп. Эти модели применены для вычислении Ext-когомологий ExtZ[K] (Z,Z)  кольца Стенли–Райснера – классической задачи гомологической алгебры. Это применение стало возможным благодаря результату Бухштабера–Панова об изоморфизме когомологий кольца Стенли–Райснера и кольца Понтрягина гомологий петель на пространстве Дэвиса–Янушкиевича (Т.Е. Панов, Н. Рэй).

·       Развит комбинаторный подход к проблеме Н. Стинрода о реализации циклов. Найдена явная конструкция, которая по каждому сингулярному симплициальному циклу Z топологического пространства X строит явно ориентированное замкнутое гладкое многообразие N и непрерывное отображение f: N → X, реализующее с некоторой кратностью класс гомологий цикла Z. Доказано, что каждый n-мерный целочисленный класс гомологий может быть с некоторой кратностью реализован непрерывным образом конечнолистного накрытия над многообразием Mn, где Mn – многообразие изоспектральных вещественных симметрических трёхдиагональных матриц размера (n+1)x(n+1). Из этого, в частности, следует, что каждый класс гомологий линейно связного топологического пространства может с некоторой кратностью быть реализован образом ориентированного гладкого асферичного многообразия (А.А. Гайфуллин).

•  Объяснено, как эквивариантная (относительно компактной группы и вращениия петли) производная категория конструктивных пучков на аффинном Грассманниане мо-жет быть описана в терминах когерентных пучков на Ленглендс-двойственной алгебре Ли, эквивариантных относительно присоединенного действия (соответственно, в терминах бимодулей Хариш–Чандры). Мы доказываем гипотезу, отождествляющую кольцо эквивариантных гомологий аффинного Грассманниана с квантовой цепочкой Тоды (М.В. Финкельберг, Р. Безрукавников, А. Браверманом). 

  Доказано обобщение локальных формул Плюккера на случай произвольной полупростой группы Ли. Построена двойственность между неоднородными кошулевыми алгебрыми и кошулевыми CDG-алгебрами. Доказана конечность числа рядов Гильберта кошулевых алгебр с фиксированным числом образующих, выведены кошулевы неравенства и установлена связь задачи о размерностях градуировочных компонент кошулевых алгебр с теоретико-вероятностной задачей об 1-зависимых случайных последовательностях, построен пример некошулевой квадратичной алгебры, удовлетворяющей соотношению, связывающему размерности градуировочных компонент двойственных кошулевых алгебр. Предложен ряд гипотез о кошулевости когомологий Галуа произвольных полей. Предложено обобщение гипотезы Богомолова о свободности коммутанта силовской подгруппы абсолютной группы Галуа на случай поля, не содержащего корней из единицы, получено элементарное доказательство делимого случая гипотезы Милнора–Блоха–Като, получено доказательство точной последовательности для когомологий Галуа биквадратичного расширения полей и ее обобщений на случай диэдрального расширения. Развита гомологическая теория полумодулей и полуконтрамодулей, построены двусторонние производные функторы SemiTor и SemiExt, построена эквивалентность полупроизводных ка-тегорий полумодулей и полуконтрамодулей, установлено сравнение с полубесконечными когомологиями ассоциативных алгебр Архипова–Севостьянова, построена неоднородная кошулева двойственность для полуалгебр (Л.Е. Посицельский).

  Обнаружена связь теории представлений групп автоморфизмов алгебраически замкнутых полей с бирациональной геометрией, а также с некоторыми типами мотивов. В связи с этим, начато изучение таких групп и их гладких (с открытыми стабилизаторами) представлений. Установлена взаимосвязь между некоторыми типами гладких представлений, соответствующих различным геометрическим вопросам, и пучками в определённых топологиях Гротендика. Прояснено соотношение между линейными и полулинейными представлениями, и начато исследование последних. В частности, описана категория допустимых полулинейных представлений группы автоморфизмов универсальной области над полем алгебраических чисел (М.З. Ровинский).

Публикации сотрудников Сектора алгебры и теории чисел в 2005-2007 годах.

НОВОСТИ И ОБЪЯВЛЕНИЯ
Биоинформатики ИППИ РАН Егор Базыкин и Дмитрий Родионов вошли в список лучших молодых ученых России ...
Семинар лаборатории № 8: 8 декабря в 14:30 в ИПЭЭ РАН. Е.М. Максимова. Уточнение стратификации оконч...
Сотрудники сектора молекулярной эволюции №4 Егор Базыкин и Александр Панчин в программе "Один Вадим"...
Заведующий Сектором геоинформационных технологий и систем ИППИ РАН Валерий Гитис в программе "Черны...
Открытый семинар Сектора анализа данных в нейронауках №10.3: 7.12.2016 (понедельник), 11:00, ауд. 61...
Семинар по структурному обучению: 08.12.2016 (четверг), 17:00, ауд.615 ИППИ. В. В. Ульянов "Асимптот...
Семинар "Структурные модели и глубинное обучение": 6.12.2016 (вторник), ауд. 615 ИППИ,18:30. Bykov...
Семинар по теории кодирования: 6.12.2016 (вторник),19:00, ауд.307 ИППИ. Сергей Еханин "Максимально в...
Все новости   
 

 

  © Федеральное государственное бюджетное учреждение науки
Институт проблем передачи информации им. А.А. Харкевича Российской академии наук, 2016
Об институте  |  Контакты  |  Старая версия сайта