Семинары >> Семинар академика РАН Якова Григорьевича... >> Прошедшие заседания
2015
11 августа
Александр Плахов
Задача Какейя и ее приложения
Задача Какейя состоит в нахождении плоской фигуры наименьшей площади, внутри которой единичный отрезок может непрерывно развернуться на 180 градусов. Неожиданное решение этой задачи было дано А. Безиковичем (площадь фигуры может быть сделана сколь угодно малой), но на этом история не кончается. Эта задача, вместе со своими обобщениями, оказалась тесно связанной с различными областями математики и нашла неожиданные приложения, в частности, в гармоническом анализе и в ньютоновской аэродинамике. Над ней работали три (ныне) филдсовских медалиста. Основная нерешенная задача в данной области ныне выглядит так: найти множество наименьшей размерности в R^n, содержащее единичный отрезок в любом направлении. (Эта задача решена только в R^2.) Будет дан обзор истории задачи Какейя, с 1917 г. и до наших дней, с доказательством некоторых ключевых результатов.
4 августа
Павел Затицкий
О масштабирующих энтропийных последовательностях метрических динамических систем
Классическая энтропийная теория метрических динамических систем основана на изучении действия группы преобразований на измеримых разбиениях стандартного вероятностного пространства. В качестве развития этого подхода Вершик в конце 90-х предложил исследовать метрические инварианты, получаемые при изучении действия на структурно более богатые объекты --- функции нескольких переменных. В качестве простейших примеров этих функций было предложено брать метрики (или полуметрики), взаимное расположение сдвигов метрик описывать их усреднением, а в качестве простейших числовых параметров, описывающих эти усреднения, было предложено брать так называемую эпсилон-энтропию. Масштабирующая последовательность характеризует скорость роста эпсилон-энтропий усреднений метрики. Была высказана гипотеза о том, что в широком классе метрик масштабирующая последовательность не зависит от выбора метрики, тем самым являясь характеристикой самой динамической системы. Пусть для некоторой суммируемой сепарабельной метрики скорость роста эпсилон-энтропий слабо зависит от эпсилон. Тогда то же верно для любой такой метрики. Масштабирующая последовательность оказывается одной и той же для всех таких метрик, и, более того, для порождающих полуметрик, тем самым является метрическим инвариантом динамической системы. Похожие инварианты появлялись в работах Катка--Тувено и Ференци 90-х годов. Эти инварианты могут оказаться эффективными в случае, если классическая энтропия системы равна нулю или бесконечности. В докладе планируется обсудить утверждение, подтверждающее гипотезу Вершика, некоторые свойства масштабирующей энтропийной последовательности и привести серию примеров
28 июля
Сергей Тихомиров (Freie Universität Berlin)
Прямая и обратная задачи отслеживания хаотических траекторий
В самом общем виде задача об отслеживании формулируется следующим образом: при каких условиях рядом с любой псевдотраекторией динамической системы найдется точная траектория? Задача об отслеживании псевдотраекторий лежала у истоков возникновения гиперболической теории. Наиболее известный результат «лемма об отслеживании», полученный Аносовым, утверждает, что в окрестности гиперболического множества динамическая система обладает свойством отслеживания.
С тех пор свойство отслеживания играет важную роль в качественной теории динамических систем, в том числе и для систем не являющихся равномерно гиперболическими. Например, используя так называемое слабое свойство отслеживания Кровизье (2006) исследовал вопросы плотности периодических траекторий и спектрального разложения для $C^1$-типичного диффеоморфизма, используя обратное свойство отслеживания Сариг (2013) показал, что диффеоморфизмы с
положительной энтропией на поверхностях могут быт приближены счетными марковскими цепями, что позволило доказать гипотезы выдвинутые Катком и Буззи.
В данном докладе мы будем рассматривать в основном задачу обратную к лемме об отслеживании – при каких условиях отслеживание влечет гиперболичность? При этом важную роль играют количественные аспекты свойства отслеживания, а именно зависимость между погрешностью псевдотраекторий и точностью отслеживания. Также будут рассмотрены вопросы длины отслеживаемых псевдотраекторий и устойчивость свойства отслеживания к малым возмущениям динамической системы.
Рассматриваются как дискретные динамические системы так и векторные поля. Для изучения количественных характеристик свойства отслеживания развита теория неоднородных разностных уравнений. Для векторных полей представлен новый механизм отслеживания псевдотраекторий, позволяющий построить не структурно устойчивые векторные поля, обладающие свойством отслеживания вместе со всеми своими малыми возмущениями.
Отметим, что для дискретных динамических систем подобный пример невозможен.
21 июля
Геннадий Мартынов
Проверка гипотезы гауссовского распределения случайного элемента в гилбертовом пространстве
Исследовано предельное распределение статистики критерия согласия Крамера-Мисеса в общей постановке. Рассмотрим два частных случая:
- проверка гауссовости распределения случайного процесса с заданной ковариационной функцией (против любой альтернативы). Процесс задан на интервале [0,1];
- проверка равномерность распределения случайного вектора в кубе большой размерности (это задача до сих пор практически не решалась).
| 
