Семинар добрушинской математической лаборатории

Тема. "Сравнение сходимости по вариации и бэта-перемешивания для эргодических марковских процессов"

 

Резюме. Цель ОЧЕНЬ ПРОСТОГО доклада двоякая: (1) напомнить метод каплинга в применении к оценкам скорости сходимости по вариации для однородных "эргодических" процессов Маркова (МП); (2) напомнить, как тот же метод позволяет оценивать некоторые коэффициенты перемешивания МП; (3) сравнить два типа результатов на очень простых, учебных примерах. Принято считать, - по крайней мере, автор сам так полагал долгое время, - что сходимость по вариации и бэта-перемешивание для МП очень близки, и, как правило, если есть одно, то есть и другое (это не строгое утверждение, а, скорее, фольклор), притом получающиеся оценки скорости сходимости вполне аналогичны. Другими словами, это примерно одно и то же. В "обычных" случаях это так и бывает. Тем не менее, никакие строгие утверждения на этот счет автору неизвестны, просто оба типа теорем часто выводятся по одной и той же схеме с помощью каплинга. Однако, недавно автор обнаружил любопытной пример, в котором возможны любые варианты: есть сходимость или нет сходимости по вариации и есть или нет бэта-перемешивания. (При этом все оценки, если они есть, - экспоненциальные или полиномиальные.) Пример, видимо, слегка "нечестный", - на докладе будет понятно, в каком смысле, - но, тем не менее, по-моему, заслуживающий обнародования.

 

Если это удастся изложить быстро, можно было бы еще прокомментировать дискуссию, возникшую стихийно на недавнем докладе М.Л.Клепцыной на российско-французской конференции, о смысле "алгоритма фильтрации с ошибкой в начальном распределении", а также метод, имеющий прямое отношение к вышеизложенной первой части доклада. (А если не удастся, то можно вторую часть доложить отдельно через месяц). (К этой части доклада, правда, не так просто отнести эпитет "очень простой", см. выше.)