Роман Карасев (ИППИ, МФТИ):
Топологический подход к теореме Дворецкого о выпуклых телах
Теорема Дворецкого утверждает, что у всякого выпуклого тела размерности n(k,ϵ) существует k-мерное выпуклое сечение, ϵ-близкое к шару. Известные доказательства теоремы Дворецкого основаны на явлении концентрации на сфере (теорема Леви) и оценках интегралов от произвольной нормы по евклидовой сфере в специально выбранном базисе. М. Громов и В. Мильман предположили, что верно аналогичное утверждение для многочленов, а именно: для однородного многочлена от n=n(k,d) переменных степени d найдётся k-мерное линейное подпространство, на котором этот многочлен пропорционален d/2-й степени стандартной квадратичной формы от n переменных. При нечётном d верен более сильный факт (теорема Бёрча): на некотором k-мерном подпространстве многочлен просто обращается в нуль. Для начала, мы применили топологический подход к теореме Бёрча и улучшили известные оценки для n(k,d) при нечётном d. Далее, используя менее элементарную топологию и идею В. Мильмана с усреднением, мы доказали гипотезу Громова–Мильмана, правда не получив определённой оценки на n(k,d) при чётном d. Отметим, что вопрос о применимости топологических подходов собственно к теореме Дворецкого и близкой к ней задаче Кнастера остаётся открытым, и имеющиеся результаты скорее отрицательные. Доклад по совместным работам с В.Л. Дольниковым и Борисом Бухом.
| 05.03.2013 | |