В ходе выполнения работ по этому направлению сотрудниками Лаборатории были получены следующие результаты:

• изучены нижние ветви спектра гамильтониана в известной квантовой бесспиновой модели массивной электродинамики (модель Паули–Фиртуа). Установлено существование 2-х одночастичных ветвей спектра, отделенных от основного состояния конечной щелью и соответствующих двум значениям поляризации бозонов. Аналогичные результаты получены для случая модели скалярной квантовой частицы, взаимодействующей с полем бозонов (полярон), а также для случая модели взаимодействия бозонов с неподвижным ядром (модель «спин-бозон»). Во всех трех случаях применялся некоторый общий прием, сводящий «бесконечно-частичную» систему уравнений для резольвенты к системе из конечного числа уравнений, исследование которой оказывается уже более простым;
• изучались свойства генераторов стохастической динамики для известного класса процессов «рождения-гибели» частиц в непрерывном пространстве. В случае стационарных процессов такого рода с гиббсовской инвариантной мерой, задаваемой парным положительным потенциалом, удалось изучить нижнюю часть спектра генератора процесса и, как следствие, доказать экспоненциальное убывание корреляций поля на больших промежутках времени. Аналогичный результат получен и для некоторых классов нестационарных версий процесса «рождения-гибели», а также для определенной суперпозиции процесса «рождения-гибели» с глауберовой динамикой спинов. Кроме того, было изучено возмущение простейшего процесса «рождения-гибели» с помощью парного потенциала взаимодействия между частицами и показано, что такое возмущение приводит к т.н. OS-положительному случайному процессу (некоторое обобщение марковских процессов). Подобная система была применена для описания мутаций в геноме. Во всех этих моделях использовались кластерные разложения, а также формула Фейнмана–Каца;
• исследовался вопрос о появлении и местоположении высоко-температурных связанных состояний у трансфер-матриц решетчатых спиновых полей. Были найдены критерии возникновения таких состояний и оценены отклонения их энергетических уровней от края непрерывного двухчастичного спектра трансфер-матрицы;
• изучались вопросы о случайном блуждании частицы в случайной среде и близкая задача о положении направленного полимера в такой среде. Были рассмотрены дискретные и непрерывные варианты таких моделей и установлены их асимптотические (при больших временах) свойства (центральная предельная теорема для положения частицы, скорость убывания корреляций и т.д.);
• разработан метод изучения относительно ограниченных возмущений квантовых спиновых систем. Одно из основных применений этого метода – доказательство существования спектральной щели и экспоненциального убывания корреляций в некоторых квантовых моделях;
• методы стохастических динамики и теории гиббсовских полей применялись к восстановлению «зашумленных» отображений. При этом был разработан новый подход к задаче нахождения глобального минимума энергии с помощью стохастической процедуры. Эти методы нашли непосредственное применение при обработке снимков леса, а также больших птичьих гнездовий;
• изучались некоторые темы по, так называемой, хаотической динамике. Установлено, что при довольно общей структуре сетей связи с сильно взаимодействующими хаотическими элементами возникает дальнодействие и показано, что это явление неустойчиво относительно малых случайных возмущений. Показано, что при грубом кодировании траекторий хаотической динамики последовательностью символов некоторого конечного алфавита возникает принципиальное ограничение для различия кодов, соответствующих разным траекториям;
• изучалась динамика бесконечной системы частиц на одномерной решетке, находящихся под действием постоянной силы. Эти исследования применялись к изучению поведения транспортных потоков. Было обнаружено несколько режимов («фаз») поведения таких потоков, возникающих при изменении плотности потока;
• получены новые результаты о фазовых переходах в системах с непрерывной симметрией и построены модели таких систем, у которых возникает фазовый переход первого рода. Изучены также вопросы о кристаллизации раствора и росте кристаллов. Установлено, что кристаллизация происходит спонтанно на одной из граней кристалла с помощью «прилипания» к этой грани тонкого слоя частиц, линейный размер которого порядка размера грани;
• получены замечательные результаты в теории сетей связи. Была доказана т.н. «пуассоновская гипотеза» для симметричных замкнутых сетей связи с большим количеством узлов. Эта гипотеза доказана при общих предположениях, когда времена обслуживания представляют собой произвольную эргодическую последовательность. С другой стороны, было показано, что для сетей связи общего вида пуассоновская гипотеза оказывается иногда неверной;
• были исследованы асимптотические режимы (при больших временах) поведения больших информационных сетей. Оказалось, что кроме стационарных режимов может возникать нестационарное поведение системы. Далее оказалось, что поведение транспортной системы в непрерывной среде эквивалентно поведению определенной системы массового обслуживания. При этом условие конечности средней задержки в транспортных потоках эквивалентно условию не перегруженности соответствующей сети;
• был получен ряд новых результатов о неподвижных точках случайных отображений;
• для анализа неравномерных гиперболических систем была развита техника энтропийного оценивания через скорость граничного искажения;
• в терминах корреляционных функций контактных процессов была построена соответствующая эволюция во времени в пространстве мер, а также найдены инвариантные меры этих процессов и исследованы критерии сходимости к этим мерам при произвольных начальных распределениях;
• построено семейство марковских процессов на, так называемом, симплексе Тома. Эта конструкция связана с вопросами гармонического анализа на симметрической группе. Для построенного семейства процессов вычислены спектры их генераторов и соответствующая форма Дирихле;
• изучены некоторые новые модели детерминантных и пфаффианных точечных полей и найдены явные выражения для их корреляционных функций;
• решена задача о больших уклонениях для случайной диаграммы Юнга. Найдена асимптотика числа таких диаграмм;
• доказана гипотеза Уидома о вещественности спектра некоторых операторов, возникающих при асимптотическом анализе теплицевых матриц;
• построена математическая модель транспортных потоков в специфических условиях и изучен асимптотический режим для такой модели;
• разработана методика оценок эффективности производственных процессов с помощью статистических измерений энтропийных характеристик;
• получено описание границы для аналогов графа Юнга, связанного с алгеброй квазисимметрических функций;
• построена динамика, включающая в маркированный процесс «рождения-гибели» также и смену марок. Построенная динамика, оказывается, является обратимой относительно гиббсовской инвариантной мерой; была вычислена нижняя часть спектра генератора такой динамики;
• изучен некоторый класс псевдо-биллиардных систем, в которых угол отражения задается случайным полем на границе биллиарда. Исследованы условия хаотичности таких систем;
• проведен мультифрактальный анализ временных средних для непрерывных вектор-функций на пространстве конечно-значных конфигураций на решетках произвольной размерности;
• понятие «успешного каплинга» (спаривания) распространено на общие процессы, уже не являющиеся марковскими. При этом удается доказать и строгую эргодичность исходного марковского процесса;
• изучена возможность конечно-ранговой аппроксимации динамики, построенной с помощью кусочно-растягивающих отображений. Эта аппроксимация позволяет произвести анализ мер Синая–Рюэлля–Боуэна;
• исследована модель случайных процессов с гиббсовским распределением и найдены основные состояния в этой модели;
• найдено некоторое уточнение теоремы Шеннона–Макмиллана–Бреймана для гиббсовского поля на аменабельной группе;
• разработан новый метод вычисления корреляционных ядер детерминантных точечных процессов, основанный на поведении спектра обыкновенных разностных операторов при определенных предельных режимах;
• разработана новая модель детерминантных точечных процессов – периодический процесс Шура. Выведено интегральное представление корреляционных ядер. Исследована асимптотика случайных цилиндрических разбиений;
• рассмотрены приложения детерминантных точечных процессов к марковским цепям без циклов;
• изучены флуктуации для ассиметричной динамики систем взаимодействующих частиц с запретами;
• доказан ряд новых предельных теорем, характеризующих нестандартные случайные процессы, описывающие функционирование системы эгалитарного разделения процессора при критической и сверхкритической загрузке;
• обнаружен ряд новых неожиданных свойств систем обслуживания с разделением процессора, полезных для предсказания производительности серверов в различных ситуациях, например, в актуальном случае распределений времени обслуживания с тяжелыми хвостами;
• завершен этап построения математической теории систем обслуживания с разделением процессора. В частности, такие системы являются перспективными математическими моделями функционирования WEB–серверов. Особое внимание получила система M/GI/1 с дисциплиной эгалитарного разделения процессора. С помощью специально разработанного для ее исследования аналитического метода получены точные решения по совместным нестационарным (транзиентным) распределениям основных вероятностно-временных характеристик (в терминах многомерных преобразований). Из этих обобщенных результатов можно извлечь в качестве частных случаев практически все известные и много новых нетривиальных характеристик производительности указанной стохастической системы. До недавнего времени проблемы получения результатов такого рода считались не поддающимися аналитическим решениям.