Алексей: австралийский этап

Казалось, совсем недавно вечерами, будучи в командировке в Германии, я писал воспоминания о Марке Александровиче Красносельском, и вот ситуация повторяется — я снова за компьютером и пытаюсь как-то упорядочить и изложить свои воспоминания о любимом ученике Марка Александровича — Алеше Покровском.

За окном холодная московская осень, яркое солнце, деревья все в «золоте»… и от этой красоты еще тоскливее. Такая тоска несколько удивительна мне самому. Дело в том, что последние годы мы с Алексеем несколько отдалились друг от друга и общались от случая к случаю, и стали снова переписываться лишь немногим более полугода назад, занявшись одной задачей из матэкономики в том же духе, как в прошлые годы, когда Алексей был в Австралии — «по переписке».

Австралия… Написать об этом периоде математической жизни Алеши оказалось не так-то просто. Причина в том, что в это время я несколько раз приезжал в Австралию и жил у Алеши с Наташей дома. Мы много гуляли, говорили обо всем, а не только о математике. Естественно, отделить здесь математику от нематематики весьма непросто…

Есть еще один тягостный момент, для меня, по крайней мере, при написании таких воспоминаний, который я уже переживал, когда писал о Марке Александровиче Красносельском. Это страх что-то переврать или придумать, и ненароком кого-то обидеть. С Алешей этот страх даже больше, чем когда я писал о Марке, видимо, потому, что Марк был для меня все же в основном Учителем, а Алешка — в определенные периоды очень близким человеком.

Хочется еще немного пояснить, в чем для меня трудность воспоминаний об Алексее. Безусловно, одной из наиболее ярких черт Алексея было его постоянное дружелюбие к окружающим. Он как бы влюблялся в каждого нового человека, а уж если тот оказывался математиком, то Алексей проводил с ним много часов искренне и заинтересованно пытаясь вникнуть в новые задачи… Он готов был помогать и в математике и в обычных житейских вопросах чуть ли не любому, кто оказывался рядом. Примером тому — многочисленные гости, которые жили у них с Наташей в Австралии неделями, а иногда и месяцами. Конечно, огромная заслуга в этом Наташи: не каждый может справиться с почти постоянным присутствием в доме чужих людей… Может быть, поэтому среди людей, сталкивавшихся с Алексеем, я часто слышал слова, что он «душка», «мягкий» — эдакий математический альтруист, который сразу проникается любовью к окружающим и готов служить всем и всякому.

И все же, мой опыт удерживает меня от такой характеристики Алексея: я был свидетелем и случаев, когда с тем или иным человеком «теплых» отношений у Алексея не складывалось. В ответ на вопрос «почему?» Алексей чаще отмалчивался, иногда долго мялся и отвечал в том духе, что сам не знает почему, «неинтересно». Поэтому по большому счету в человеческом плане Алексей так и остался для меня «черным ящиком», и свое отношение к нему я и формировал так, как поступают с черным ящиком — по входо-выходным соотношениям пытался восстановить, что же там внутри у Алексея, каковы мотивы его поведения. Иногда он «раскрывался» и объяснял, почему он что-то делает так или иначе, а часто просто констатировал свое решение (особенно, если раньше кто-то с его мнением не соглашался) или говорил «не твое дело…». И в этой последней фразе не было для меня ничего обидного, так как я понимал, что он действительно не хочет «валить» на меня свои проблемы, или уже настолько окончательно принял какое-то решение, что считает бессмысленным тратить время хоть с кем-то на его обсуждение. Последний раз это «не твое дело, все равно не поймешь…» прозвучало недели за три до его смерти, во время последнего визита в Москву, когда он получил при мне по электронной почте какие-то неприятные новости из университета в Корке, а я машинально спросил, что его так расстроило. Влезать в душу с расспросами у меня как-то не получается, поэтому приходилось смотреть, слушать и сопоставлять…

Для меня нет сомнения, что одними из наиглавнейших в его жизни были две вещи — математика и семья. И, как мне кажется, именно эти два приоритета могут объяснить многие из его действий, по крайней мере, с того момента, как Марк Александрович, Алексей и еще некоторые сотрудники лаб. № 61 ИПУ перешли в ИППИ.

Как же Алексей попал в Австралию, жизнь и работа в которой, по моему мнению, стали весьма значимым этапом в его жизни? На работу в Австралию Алексей поехал где-то в середине 1992-го года. Что же сподвигло его на это?

Хотелось бы напомнить, что в современной российской истории начало 90-х годов XX-го века оказалось одним из самых трудных периодов. Это сказывалось на всем — и на уровне жизни, и на финансировании научных исследований, а значит, на самой возможности для ученого работать, и, что весьма важно, на ощущении стабильности и безопасности для себя и своих близких. И именно это опасение за судьбу своих детей было, как мне кажется, одним из ведущих мотивов в решении Алексея.

Другим весьма сильным мотивом было то, что за несколько лет до этого Алексей защитил докторскую диссертацию и, как это часто бывает со многими учеными после такого события, перед ним встал вопрос: а что же дальше — продолжать развивать ту же тему или попытаться начать что-то новое? В это время Алексей мне несколько раз говорил, что ему очень хочется проверить, способен ли он как-то применить свои знания и умения в «реальных», как он выражался, задачах. Возможно, стимулом к таким мыслям послужило появление незадолго до того в российских (советских) научных учреждениях настольных компьютеров. Естественно, что такие «игрушки» не остались без внимания молодой части научного сообщества, и Алексей был не исключением. Совместно с Рауфом Измайловым (а также многими другими сотрудниками Марка Александровича Красносельского, которые всегда принимали в той или иной мере участие в обсуждении работ друг друга) он провел несколько простейших, казалось бы, компьютерных экспериментов по визуализации линий уровня функций двух аргументов. И, как это часто бывает, начиная с некоторого момента, получаемые картинки оказались настолько странными, что неизбежно возник вопрос — а что же эти картинки представляют, реальные свойства функций или «аберрации», вызванные компьютерным способом моделирования? Естественно, с поставленной задачей довольно быстро разобрались, но сам вопрос «а насколько можно доверять результатам компьютерного моделирования?», по-видимому, уже тогда начал оформляться в голове Алексея. Поэтому, когда в 1992 году с подачи Игоря Фоменко, бывшего аспиранта М.А. Красносельского, Алексею предложили поучаствовать в австралийском гранте со схожей тематикой, он, после больших колебаний и советов с Марком Александровичем Красносельским, согласился.

Наконец, как мне казалось, сыграл свою роль и еще один фактор. Алексей на протяжении многих лет был одним из наиболее близких учеников Марка Александровича Красносельского, проводившим с ним практически все свое время, обсуждавшим не только математические проблемы, но и говорившим о жизни…, обо всем. Но в жизни любого ученого рано или поздно наступает момент (не может не наступить!), когда ему начинает хотеться большей самостоятельности, появляются свои интересы, идеи и задумки… Возможно, такой этап к 1992 году наступил и у Алексея… Но это лишь мои предположения.

Так или иначе, где-то в начале 1992 года мы узнали, что Алексей собирается поехать работать по гранту в Австралию. Как точно формулировалась тематика гранта, я не помню, но связана она была с проблемами численного анализа поведения сложных систем. Алексей, заметно волновался, так как эта тематика была для него нова, и серьезно готовился к будущей работе. И это было его еще одной отличительной чертой — в любой математический вопрос, который возникал в его жизни, он погружался полностью. Так и здесь, чтобы понять, какого рода трудности могут возникнуть в его работе в Австралии, он еще в Москве стал рассматривать вопрос о динамике дискретизованного отображения x→αx(1-x). И, как и в случае с уже упоминавшейся мной визуализаций линий уровня функций, здесь немедленно возникли интересные и необъяснимые эффекты.

Не вдаваясь слишком глубоко в описание возникших эффектов, изложу все же их суть, поскольку именно их анализ стал одной из центральных тем исследований Алексея на протяжении всего его пребывания в Австралии. Как известно, если последовательно вычислять итерации некоторой точки с помощью отображения x→αx(1-x), то при определенных значениях параметра α  типичная последовательность полученных итераций ведет себя со многих точек зрения «хаотично». А вот свойства типичной последовательности итераций дискретизованной системы оказалось кардинально отличными от свойств типичной последовательности «истинной» системы! Само по себе это не должно вызывать удивления, поскольку процедура дискретизации — это сильно нелинейная (разрывная) процедура и многие методы классического анализа, хорошо работающие при обычных (слабых) возмущениях, здесь и не должны бы работать. Удивительным оказалось другое: все мы на основании исторического опыта науки были воспитаны в духе «познаваемости мира», согласно которому при моделировании реальных процессов нужно лишь взять «достаточно точную модель», чтобы получить результат хорошо отображающий реальность. А в данной ситуации выяснилось, что ряд характеристик дискретизованного отображения никак «не хочет приближаться» к аналогичным характеристикам исходного непрерывного отображения, сколь бы мелкую (точную) дискретизацию мы не выбирали.

Чтобы разобраться в данной ситуации Алексей задействовал все возможности одного из самых мощных в то время компьютеров Cray^®  на математических факультетах университетов Брисбена и Джилонга, о которых в Москве мы и мечтать не могли. Частенько, он полностью загружал их вычислениями на выходные и праздники, поскольку такая загрузка в рабочие дни начала вызывать нарекания со стороны остальных сотрудников соответствующих факультетов, чтобы убедиться, что полученные эффекты вызваны не недостаточной точностью дискретизации, а чем-то другим. Постепенно ситуация стала мало-помалу проясняться… Дискретизация отображения при вычислении итераций действовала как некая рандомизирующая процедура. Осознание этого послужило толчком к построению феноменологических моделей, основанных на теории случайных отображений специального вида, позволивших не только качественно, но и, главное, весьма точно количественно описывать возникающие эффекты.

Грантом, в рамках которого Алексей работал в Австралии, руководили Phil Diamond, работавший в Queensland University в Брисбене и Peter Kloeden из университета города Джилонг (под Мельбурном). Соответственно, Алексей часть времени проводил в Брисбене, а часть в Джилонге. Немного освоившись в Австралии, Алексей стал организовывать визиты к нему различных ученых из России. Частично это было вызвано его желанием выполнить работу по гранту на высшем уровне, частично же — желанием Алексея просто помочь материально своим товарищам, потому что даже те скромные (по австралийским меркам) деньги, которые получали в Австралии приглашенные ученые, по тогдашним российским реалиям были весьма существенным подспорьем. Но был, как мне кажется, и еще один мотив для таких приглашений. Алексей был воспитан в духе коллективного обсуждения математических проблем и для него общение с сильными коллегами близкими по «математической идеологии» было жизненно необходимой «средой обитания», а в Австралии такого общения явно не хватало, по крайней мере, на первых порах.

Мой первый визит в Австралию был организован по просьбе Алексея где-то спустя полгода после его приезда в Австралию, когда он должен был переместиться в Джилонг, а впоследствии я приезжал то в Джилонг, то в Брисбен на месяц-два еще раз пять или шесть. Переезд Алексея в Джилонг ознаменовал и некоторое расширение тематики проводимых им исследований. Частично это объяснялось тем, что научные предпочтения Питера Клоедена несколько отличались от предпочтений Фила Даймонда, частично же такое расширение интересов было естественно подготовлено предыдущей работой Алексея в Брисбене.

Дело в том, что исследование поведения дискретизаций отображения x→αx(1-x), о котором писалось выше, достаточно сильно повлияло на всю идеологию Алексея (и мою) при работе с компьютерными моделями. Напомню, что с распространением компьютеров в научной литературе все чаще стали появляться работы, в которых авторы на основе проводимого ими компьютерного моделирования «подтверждали» или «опровергали» различного рода математические гипотезы, которые строгими математическими методами доказать или опровергнуть не удавалось из-за их сложности. Особое распространение такого рода работы получили при исследовании так называемых хаотических систем. Честно скажу, что и меня и Алексея такого рода работы сильно раздражали, поскольку, как правило, в них приводились лишь красивые компьютерные картинки или достаточно скупые таблицы с численными данными, но не было главного — хоть какого-то обоснования того, что эти картинки соответствуют действительности. Последнее как бы подоразумевалось само собой. Именно поэтому исследования Алексея (а позднее и мои с совсем уж «элементарной» ситуацией моделирования фазовых портретов дискретизованных линейных систем, где также возникли «непонятки») так сильно порадовали наши «вредные души». Они продемонстрировали, что к результатам компьютерного моделирования следует относиться очень и очень осторожно, поскольку в ряде ситуаций известная и исторически казалось бы обоснованная панацея «повысить точность вычислений» может не дать желаемого — адекватности результатов компьютерного моделирования реальному поведению объекта.

Эти исследования показали, что при численном моделировании таких сложных систем, как хаотические, нужны какие-то общие и достаточно простые в техническом плане методы, которые позволяли бы оценивать точность и достоверность проводимого анализа. Казалось бы, в чем проблема? В литературе имеется множество различных критериев гиперболичности или хаотичности — бери любой и применяй. Но… оказалось, что применить их на практике в численном моделировании ох как непросто! Либо условия непроверяемые, либо достаточно сложны для программной реализации либо еще что-то. Результаты наших размышлений на эту тему достаточно быстро вылились в понятие полугиперболичности отображения, которое формулировалось в виде простых неравенств. Позднее, также под влиянием необходимости компьютерного моделирования, были предложены и исследованы такие обобщения понятия грубости динамики системы, как обратный и взаимный шедоуинг. Не останавливаясь на сути этих понятий отмечу лишь, что уже позднее, в Ирландии развитая в Австралии техника была Алексеем усилена и позволила абсолютно честно с точки зрения математических стандартов доказать хаотичность поведения ряда прикладных систем (с использованием результатов компьютерного анализа). Результаты исследований по этой тематике мы долго (в течение почти 15-и лет) оформляли в виде небольшой монографии. Такой срок частично объясняется трудностями писания книги четырьмя авторами, каждый из которых живет на расстоянии многих тысяч километров от другого. Частично же это было вызвано нашей общей научной «мобильностью», которая достаточно быстро отвлекла каждого из нас на другие задачи, после того как с этой всё (или хоть что-то?) стало более-менее понятно. Книга должна скоро появиться, но Алексей ее выхода не дождался…

Наверное, мои воспоминания об Алексее в Австралии были бы неполными, если бы я опустил «житейские детали». Я намеренно взял эти слова в кавычки, потому что от этих «деталей» существенно зависит и продуктивность работы ученого, да и сама возможность делать свое дело.

Алексей приехал в Австралию, как я уже упоминал, в один из самых напряженных моментов в нашей (всех тех, кто жил в 80-90-х годах в Советском Союзе, а позднее России) истории. Много нервов и моральных сил в те времена отнимали постоянные задержки с выплатой зарплат, отсутствие товаров и бесконечные очереди в магазинах и пр. А для ученого еще и начавшиеся бесконечные реорганизации в научных учреждениях, которые при всех правильных словах осуществлялись весьма и весьма топорно (если не употреблять более адекватные матерные выражения). О жизни в Австралии Алексей (как и все мы) имел весьма отдаленное представление и поэтому, естественно, поездка туда, да еще с семьей, была достаточно напряженным моментом. Каково же было удивление Алексея (а позднее и практически всех, приезжавших к нему), когда с первых же дней он встретил в высшей степени дружественную атмосферу, желание помочь, продуманность во всем… Можно сказать еще много лестных слов о людях, окруживших Алексея и его семью в тот момент. К тому времени в России, и в первую очередь в крупных городах, начал утрачиваться дух 50-х годов, когда можно было спокойно ходить по вечерним и ночным улицам, когда люди часто ходили в гости друг другу, собирали застолья и пели песни, когда дворы вечерами превращались в клубы для общения. И вот по приезде в Австралию эта уже забытая атмосфера вновь окутала Алексея и его семью. И Алексей, и Наташа потом много раз говорили мне, что были поражены готовностью помочь со стороны совсем незнакомых людей из русской общины и русской церкви в Брисбене. Конечно, даже не стоит и говорить, что и в университете атмосфера была также очень теплой. Я тоже испытал нечто подобное (но дополненное еще и заботой Алексея и Наташи обо мне при моих первых визитах в Австралию).

В результате у Алексея с Наташей быстро сложились дружеские отношения со многими людьми, среди которых наиболее близкими стали Phil и Marion Diamond, Mabo Suzuki в Брисбене, Peter Kloeden, Tony Klemm, Ian и Betty Collins в Джилонге и многие другие, о которых я, возможно, не знаю. Mabo и Tony с готовностью помогали Алексею с освоением работы с компьютерами. И все были готовы показывать окрестности и достопримечательности, помогать со многими мелочами, от которых зависит наша жизнь, особенно иностранца в чужой стране. О своей признательности всем этим людям много раз говорил мне Алексей, да и сам я все это испытал на себе и также всем им благодарен.

Такая «легкая» атмосфера — безусловно, наилучшее условие для творчества. И Алексей полностью погрузился в работу. Следует отметить, что Алексей был, пожалуй, наибольшим «коллективистом» в той коллективистской атмосфере школы Марка Александровича Красносельского, в которой и он и я выросли. Это означало, что он не боялся делиться идеями, мыслями и задумками с окружающими. При этом Алексей в отличие, скажем, от меня, обладал еще и талантом быстро распознавать силы и интересы окружающих и вовлекать их в научную деятельность сообразно с их возможностями. Кроме того, с самого начала работы в Австралии Алексей договорился с Филом и Питером (или поставил их в известность?), что соавторами научной работы будут считаться все те, кто хоть как-то хоть на каком-то этапе принимал участие в ее обсуждении — таков был стиль школы Красносельского, к которому мы привыкли. Именно поэтому многие работы Алексея в тот период — это работы со многими авторами, и именно поэтому и Алексей и я считали бессмысленным обсуждать саму постановку вопроса о вкладе того или иного человека в работу. Мне кажется (а может быть, я и ошибаюсь), такой стиль работы был не совсем привычен в Австралии.

В ресторане: на минуточку задумался о математике. Брисбен, 1995г.

Так как для Алексея слова «наука, математика» и «жизнь» были неотделимы, то его «думание» над задачами продолжалось без преувеличения круглосуточно. Не раз я ловил его вдруг застывший взгляд во время какой-нибудь вечеринки, которые так любили устраивать наши австралийские друзья, а после вечеринки слышал: «Слушай, Виктор, я придумал…» или «… я, наконец, понял…». И только своим детям, Оле и Алеше он отдавался на сто процентов. Для нас наиболее продуктивными были те многие часы разговоров и споров (а иногда и ругани, увы!), когда мы в Джилонге ходили пешком километра по 3-4 от дома до университета и потом домой, или в Брисбене добирались до университета на пароме через реку, или когда много времени проводили в lunch-room, сидя с чашкой чая или кофе и обсуждая, обсуждая, обсуждая…, или гуляли по живописным тропинкам вокруг университета… Надо сказать, что такая манера работы (естественная в окружении Марка Александровича Красносельского) поначалу, как мне кажется, приводила в недоумение Питера Клоедена и несколько беспокоила его. Но нам он ничего не говорил, и постепенно, когда от Алексея пошел вал идей и теорем, совсем успокоился, хотя, возможно, я просто как-то не так истолковывал его взгляд. В любом случае, мы с Алексеем благодарны ему уже за то, что он привил нам вкус к красному вину!

Переправа на пароме по пути в университет. Брисбен, 1995г.

«Раскручивать» какие-то задачи с Алексеем мне всегда было очень легко — абсолютная самоотдача со стороны Алексея, четкие и всегда до мелочей «вылизанные» формулировки. И самое главное — мы думали хоть и «в близких терминах», но все же по-разному, а значит, каждый всегда мог ожидать от другого какого-то нового взгляда на задачу или неожиданной идеи, которые могли принципиально изменить весь ход рассуждений! В доказательствах Алексея можно было не сомневаться, и я могу припомнить лишь два-три случая, когда Алешкой была допущена ошибка, да и то во второстепенных ситуациях. В работе двух ученых всегда есть место для возникновения «трений» — они по-разному научно воспитаны, имеют различную манеру изложения, привыкли к различному уровню детализации в своих рассуждениях. С Алексеем таких проблем не возникало — если он слышал от меня, что то или иное место в доказательстве недостаточно, на мой взгляд, понятно или, наоборот, слишком затянуто, он готов был внести исправления или приводил четкие аргументы, почему этого не следует делать. В таких вопросах мы оба готовы были идти навстречу друг другу. Но все же, все мы люди, и иногда мы «заводились» и решали те или иные задачи на-спор или в пику друг другу. Были случаи, когда мы не разговаривали несколько дней, например, из-за несогласия по такому «принципиальнейшему» вопросу, как обозначить ту или иную переменную — буквой «x» или  «y», или чего-либо подобного… Но вот при оформлении работ, да еще «по переписке», работать с Алексеем было временами действительно трудно — несмотря на все договоренности кто и в какой последовательности правит статью он часто торопился и вносил исправления «вне очереди» или не в самый последний вариант работы. Естественно, потом много времени уходило на то, чтобы разобраться с тем, что получилось, и привести все в порядок. Впрочем, желание изложить все быстрее и лучше — не самый большой грех ученого, даже если приводит к некоторым неудобствам!

В Австралии началась преподавательская деятельность Алексея. Он долго сомневался, браться ли за это — все-таки его английский, особенно в части произношения, был в то время далек от совершенства. Но в конце концов согласился и уже через месяц после очередной лекции или семинарского занятия со смехом рассказывал мне, как, устав от косноязычия какого-то студента и отчаявшись добиться от него четкости в рассуждениях, не выдержал и стал объяснять тому на своем весьма несовершенном английском, что основная беда этого студента — в неумении владеть английским языком!

Гранты имеют обыкновение кончаться, а Австралия хоть и всем хороша, но все же находится так далеко от дома… Кроме того, у Алексея все больше и больше нарастала тоска по его временно заброшенному, но любимому детищу — гистерезису. И поэтому со временем у Алексея все чаще стала возникать мысль перебраться куда-нибудь поближе к России или Европе, где гистерезисная тематика продолжала активно развиваться, что он и сделал, переехав после серии собеседований в Ирландию.

Хотя именно в Австралии мы очень сблизились с Алексеем, он так и остался для меня «черным ящиком». Лишь случайно, в каком-то споре я узнал, что он очень любит поэзию… Но до сих пор я так и не понял, почему всю свою жизнь он называл меня официально Виктором, а не Витей, как все остальные. Этот вопрос не даст мне покоя до конца жизни…

Я опять за компьютером, заканчиваю свои воспоминания. Вместо солнца за окном свинцовое небо, сильный ветер и то и дело моросит мелкий дождь, переходящий в снег. Скоро зима. В свой предпоследний приезд в Москву в конце 2009 года Алешка так радовался зиме…

Как молоды мы были.
Как искренне любили.
Как верили в себя…