Лекция о методе функционализации параметра или «акулов не бывает!»

Решиться написать о Марке Александровиче, Марке!, для меня было невероятно трудно. Решившись же, вначале я предполагал ограничиться описанием одного из его семинаров, запавших в память и произведших неизгладимое впечатление. Но начав писать, я довольно скоро стал ловить себя на том, что все чаще отвлекаюсь от собственно рассказа о семинаре на воспоминания о Марке вообще, однако ничего поделать с собой уже не смог — мне казалось, что выброси я хоть какую-то из фраз, и трудно будет понять: что, почему и как происходило на том далеком семинаре. И тогда я решил ничего не менять — пусть то, что я пишу, будет просто «потоком сознания», может быть в чем-то нелогичным и противоречивым, но так или иначе позволяющим приблизиться к пониманию, что такое (именно что, а не кто) был Марк Александрович Красносельский.

Вспоминая о нем, пытаясь сейчас проанализировать, как и в чем он повлиял на меня и моих товарищей, трудно удержаться от превосходных степеней и банальных фраз. Эти фразы еще можно было бы употреблять, будучи писателем и тонко чувствуя «меру», но я знаю один из многочисленных своих грехов — я не Лев Толстой, пишу трудно и коряво. Поэтому постараюсь описать Марка Александровича, вспоминая, по мере возможности, свои студенческие впечатления, когда я только-только был «принят», или, вернее, начинал приниматься в группу Марка или в его ученики — даже не знаю как точнее выразиться.

Если говорить честно, я до сих пор не уверен, могу ли, вернее, имею ли право называться учеником Красносельского. Ведь его «настоящие» ученики ходили с ним на рыбалку, гуляли и придумывали во время прогулок теоремы, дневали и ночевали у него дома, фактически стали его детьми. Я же оказался, если не ошибаюсь, последним из «воронежского поколения» и, может быть, в силу этого нетипичным учеником — «не гулял», «не рыбачил», «не..., не..., не... », а с годами стал занимался и вообще тематикой, хоть и «рожденной» Марком Александровичем, но все же достаточно сильно «перпендикулярной» его традиционным интересам — рассинхронизованными системами. И только много ругался в последние годы его жизни, о чем вспоминаю с мукой и стыдом... Впрочем, хватит, так как это уже не о Марке, а обо мне.

Впервые не понаслышке и не мельком, а более или менее существенно (для меня!) я столкнулся с Марком Александровичем, по-моему, на первом курсе, в 1967 или, скорее, 1968 году, когда он прочитал лекции по функциональному анализу всему потоку. Уже эти лекции поразили меня тем, как понятно и легко он рассказывал — фактически это были не лекции, а спектакль, театр — он писал на доске, задавал вопросы кому-то в аудитории, шутил и рассказывал анекдоты, и вместе с тем, железно держал всех в руках, мы работали, а не отдыхали даже во время многочисленных его шуток! Конечно, в то время сама мысль охарактеризовать лекции Марка Александровича как «театр» просто не могла бы прийти мне в голову, но ощущение простоты и красоты, которое потом неоднократно возникало после лекций МА, после той лекции просто подавило меня — как? мир-то оказывается устроен так просто! как же я сам этого раньше не видел? Да и не только меня, как можно было судить по возбуждению окружающих.

К сожалению, эти первые лекции стали, насколько мне припоминается, и чуть ли не последними лекциями Марка Александровича в ВГУ, читанными для студентов. Я могу ошибаться — может быть, Марк Александрович и читал что-то на старших курсах, но нам, нашему курсу, в этом смысле больше не посчастливилось. Тогда я многого не знал, я был еще «салажонком» и даже многочисленные слухи, гулявшие по факультету, до меня не доходили просто по той причине, что у меня не было соответствующих «контактов», а уж об истинных причинах исчезновения Марка Александровича я не мог и догадываться. Но впечатление об этих лекциях было настолько сильно, что никто после этого просто не мог сравниться с Марком Александровичем — я говорю это не в упрек остальным преподавателям, также сильно повлиявшим на меня, уважаемым и любимым мной, но, увы! — повторяю, никто и никогда в моих глазах уже не мог сравниться в этом плане с Марком Александровичем.

Следующая встреча с Марком Александровичем произошла для меня совершенно неожиданно. Это было, по-моему, весной 1971 года, когда я учился на четвертом курсе и уже достаточно сильно «прикипел» к Борису Николаевичу Садовскому, и под его руководством начал интересоваться мерами некомпактности и уплотняющими операторами. Как-то Борис Николаевич, кажется, после очередного семинара, отозвал меня и сказал, что Марк Александрович хочет со мной поговорить, и что если я не против, то должен подойти в строительный институт в такое-то время. — ???? Марк Александрович? Откуда он знает обо мне? Задать эти вопросы, хоть и простому и любимому мной, но все же существовавшему в моем представлении где-то высоко-высоко Борису Николаевичу я не решился.

В назначенное время я пришел в строительный институт на кафедру Рутицкого, и как-то совершенно буднично, как будто мы были знакомы уже давным давно, хотя это был мой первый! разговор с ним, Марк Александрович сказал, что вот здесь собирается семинар, на котором будут обсуждаться... (кажется, какие-то численные методы), и если я хочу, то могу походить, послушать. Так началось мое «вхождение» в... трудно даже подобрать точное слово во что. В окружение Марка? В ученики? Не важно, в конце концов, как это сообщество назвать. Основные ощущения от того времени — восторг и страх, легкость и одновременно постоянное напряжение. Восторг от тех моментов, когда понимал что-то, и страх... страх потому, что вокруг были ВЕЛИКИЕ Петр Петрович Забрейко, Яков Брониславович Рутицкий, Женя Лифшиц, Алеша Покровский, вечно ехидный Иван Емелин, имевшие мгновенные ответы на все вопросы Марка, и был маааалюсенький я, который, не скрою, достаточно часто что-то понимал, но еще чаще просто запоминал дословно, что говорилось вокруг, а потом за неделю до следующего семинара «жил» внутренним «перевариванием» всего этого.

Увы, и это время кончилось очень быстро — окончился семестр, прошли экзамены, летом я приходил уже домой к Марку Александровичу и старательно пытался отвечать на многочисленные вопросы-задачки, которые возникали у него непрерывно — по ходу разговоров «за жизнь», каких-либо обсуждений, и однажды, вычитывая по просьбе Марка Александровича готовившуюся в то время к печати монографию «Геометрические методы нелинейного анализа» как-то вдруг понял, что такое теоремы родственности. Но осенью ЭТО СЧАСТЬЕ КОНЧИЛОСЬ! Опять! Марк Александрович уехал! Я могу ошибаться во времени и даже в последовательности событий, потому что запомнил не время, а вопросы, мои попытки ответить на них, запомнил, как сидел и «впитывал» разговоры Марка с Петром Петровичем Забрейко, Юлием Покорным, Алешей Покровским и Женей Лифшицем.

Честно говоря, я не помню что было потом — словно провал в памяти. Какие-то эпизодические телефонные разговоры с Марком Александровичем, попытки самостоятельных занятий виброустойчивыми уравнениями второго порядка — в то время виброустойчивость и гистерезис стали одним из основных интересов Марка Александровича и он всех «близлежащих» щедро «одаривал» многочисленными вопросами и задачами. И вдруг, в один из дней Марк Александрович опять появился в университете, и я узнал, что он собирается выступить на семинаре на кафедре функционального анализа. Мне еще раз хочется извиниться перед всеми, кто наверняка будет поправлять меня и говорить: «это было не тогда, а тогда-то, и говорилось совсем другое, и того-то при этом не было, а наоборот тот-то был...», — ну и так далее. Я не запомнил по времени что и когда было — я жил от одного разговора с Марком до другого, от одной задачи до другой...

Семинар проходил, как обычно, вечером в аудитории 222 (могу ошибаться с номером!), вход в которую отгораживался от собственно аудитории рядами шкафов, в которых хранились труды семинара по функциональному анализу, курсовые и дипломные работы и еще какие-то старые папки. В аудитории помещалось человек 30 максимум, и в тот день она была заполнена, как всегда, когда выступал Марк Александрович, полностью. Как обычно, первые ряды и центральные места занимала «старая гвардия», а молодежь и «пришлые» — уже где придется.

Я занял свое любимое место во втором ряду в уголке, у окна, — и близко, все хорошо видно на доске, и не на виду, что на семинарах и лекциях Марка Александровича для меня было немаловажно, — всегда существовала реальная опасность, что в какой-нибудь момент раздастся вопрос Марка Александровича: «Алеша!» (или Женя, или Павел — Павел Евсеевич Соболевский, — если тот уж слишком громко начинал «шептаться» с каким-либо соседом, или — что хуже всего, — Витя!) — «тебе все понятно?» И тут наступал мучительный, по крайней мере для меня, «момент истины» — сказать: «всё», — так кто же его знает, а понял ли я или мне только кажется, что понял — уже за то короткое время, что я знал Марка Александровича, я хорошо познакомился с его излюбленной манерой, когда он в ходе рассказа «подводил» слушателей к казалось бы совершенно «очевидному» выводу, а потом показывал, что все оказывается не так просто, и в этой кажущейся очевидности скрыта какая-то совершенно неожиданная изюминка! Поэтому отвечать «все понял» было опасно. Но и отвечать «нет» тоже не хотелось, особенно, если казалось, что действительно понял — ведь вокруг были те, кто себя уже проявил и кто для меня был авторитетом, и мне тоже хотелось приобщиться к этому братству, показать, если откровенно, хоть и грубовато, что и я «не х... собачий!». Поэтому я всегда был готов к достаточно осторожному ответу типа: «да, мне кажется, что понял...». Нередко подобные вопросы сопровождались просьбой Марка Александровича рассказать в следующий раз подробно, с доказательствами, то-то и то-то, а то вот сам Марк Александрович этот факт продумал лишь вчерне... И как я понял уже много позднее, ближе познакомившись с Марком Александровичем, это было не кокетство, не игра и не педагогический прием. Марк Александрович был щедр, и не таил своих идей — у него всегда их было слишком много и он с готовностью «дарил» их — лишь бы не пропали!, лишь бы хоть кто-нибудь, не важно кто, «раскрутил» их до строгих доказательств!

Замечу, что эта щедрость Марка «заразила» многих его учеников. Ведь и разговор с Борисом Николаевичем, который фактически круто изменил мои только еще формировавшиеся, но, казалось, уже достаточно определенные интересы, был проявлением той самой щедрости, которую от Марка перенял Борис Николаевич. Насколько я понимаю (мне всегда неловко было спрашивать об этом Садовского напрямую), Борис Николаевич в какой-то момент решил, что Марк Александрович может дать мне больше, чем он сам, и он... «подарил» меня Марку — несмотря на то, что лишался одного из (увы, позволю себе быть нескромным) своих сильнейших в тот момент учеников.

Довольно долго мне казалось, что подобная щедрость — это норма в научном мире, но пообщавшись со многими математиками и нематематиками, и особенно, немного помотавшись по «заграницам», я понял, что не прав — увы, но подобная щедрость, к сожалению, — исключение в нашем мире, и присуща только незаурядным и сильным личностям, не боящимся конкуренции, а таких — единицы! Несколько раз потом, когда, работая в Институте проблем передачи информации, Марк Александрович уже позволял себе делиться со мной достаточно «деликатными» размышлениями и порой даже советовался, он рассказывал, что вот такой-то побывав на его семинаре, или прочитав его старую статью, стал использовать ту или иную идею или прием даже не ссылаясь на него — и каждый раз удивлялся этому, и каждый раз было видно, что ему даже не столько жалко этой идеи, или обидно, сколько он испытывал чувство неловкости за того человека и основным лейтмотивом была мысль: «ну как же мне теперь с ним говорить?» Впрочем, после каждого такого разговора он смеялся, говорил еще одну свою философскую фразу: «Витя, ну ты все понимаешь...?» и несколько мгновений спустя забывал об этом и переключался на очередную задачу.

Марк Александрович начал рассказ как обычно, не давая вначале никаких строгих определений, а описывая ситуацию, как если бы это была история о том, что происходило с ним во время рыбалки: «Пусть у нас имеется система автономных дифференциальных уравнений на плоскости...». И дальше пошло описание, как эта система «живет» — вот у нее есть положение равновесия, вокруг которого точки движутся почти по окружностям, потому что Марк Александрович успел уже предположить, что собственные значения линейной части уравнения, «болтаются» где-то около мнимой оси... Вот он как-то почти мимоходом сказал, чтобы все забыли на мгновение, что система нелинейная, потому что сейчас это не важно — и мне кажется, что все забыли, или, вернее, заставили себя отвлечься от этого — как кошка во время сна — ушки все равно слушают, нет ли опасности. Я не знаю, вероятно не все воспринимали это так как я, но для меня это было как кино — перед глазами живая система, которая чуть ли не дышит, ее точки бегают почти по кругу и их траектории плавно-плавно изменяются с изменением параметра. И вот здесь — «все вижу ясно», а вот здесь — «туман»!

Надо сказать, что к тому времени Марк Александрович уже несколько раз рассказывал мне про задачу о точках бифуркации, я успел просмотреть, вернее достаточно старательно изучить, несколько разделов из книжек Марка в первую очередь, конечно, ну и статей. Так что сама постановка задачи о том, что может произойти с системой дифференциальных уравнений при изменении параметров, от которых она зависит, была для меня не нова. Даже доказательства теорем были мне понятны. Но было одно НО! — все это пока было на таком уровне, что никаких ни эмоций, ни новых идей или постановок или даже просто вопросов у меня не вызывало — понятно, ну и понятно, но не более. Поэтому слушать Марка Александровича мне было легко, хотя с самой задачей я раньше знаком не был.

Продолжая рассказ, Марк Александрович постепенно и малыми порциями конкретизировал условия задачи, предполагая сначала, что правая часть уравнения зависит от скалярного параметра, затем, — что собственные значения линейной части уравнения пересекают в какой-то момент мнимую ось слева направо, и начал опять, казалось неторопливо, но понятно и подробно объяснять, что при этом будет происходить с решениями системы вблизи положения равновесия, теряющего устойчивость.

Вообще, следует отметить, что Марк Александрович никогда не «вываливал» на слушателей всю информацию при обсуждении того или иного вопроса. Он уделял изложению, т.е. собственно процессу и процедуре «повествования», очень много внимания. Каждый его ученик может бесконечно припоминать длительные и мучительные, и казалось, бесконечные итерации «писания» статей с многочисленными и пространными комментариями Марка Александровича о том, как надо писать, попытками добиться от нас ответа зачем мы такую-то фразу вставили именно в это место, и почему, наоборот, не написали в этом месте то, что нужно, руганью, если фраза была длинной и насыщенной сложносочиненными и сложноподчиненными оборотами — «Витя! Ты для кого пишешь? Для себя? Самая высшая форма уважения читателя — считать его дураком!» — что означало, что излагать надо максимально понятно и подробно. При этом Марк Александрович иногда буквально приходил в ярость, когда встречал в статье слова «очевидно», «ясно, что...», «легко видеть». А попытки поместить определение непосредственно перед тем местом, где оно нужно, занимали иногда несколько дней.

Частенько, уже во время работы Марка Александровича в Институте проблем управления, эти «сеансы» собирали «зрителей», заходивших как-бы ненароком в его кабинет и задерживавшихся там по свой воле или в качестве мгновенно приглашенных соучастников процедуры («посиди! — тебе будет полезно послушать»), которые получали истинное наслаждение, пытаясь задавить в себе спазмы смеха — ведь «экзекуция обучения» в данный момент проводилась не над ними!, а наблюдать за «обучаемым» со стороны действительно было смешнее любой пародии Райкина или постановки студенческого театра миниатюр. А Коля Бобылев, когда кто-то шел к Марку с 5-й или 10-й версией статьи, который был «за старшего» среди учеников Марка в ИПУ, и которому подобная экзекуция уже не грозила, потому что его мастерство писания статей уже «почти сравнялось» с мастерством Марка, иезуитски радостно потирал руки и предлагал брать плату «за вход» с желающих поприсутствовать при этом в кабинете.

Нередко очередная итерация правки статьи кончалась тем, что Марк Александрович, отчаявшись от нашей тупости и упрямства, брал ручку и сам начинал редактировать, вычеркивая иногда целые абзацы и вписывая вместо них пару-тройку слов, мгновенно делавших понятным то, что нам никак не удавалось, сопровождая процесс ставшей знаменитой фразой: «Не надо быть «умным»! Надо думать!», означавшей в переводе, что написано только то, что написано, и никто не обязан знать, а что же кроме этого у нас «умных» в голове, что мы при этом хотели, да поленились сказать, или не сумели.

Конгресс IFAC. Афины, 1996. Лекция.

Я намеренно отвлекся от рассказа о семинаре, потому что почти каждый из его учеников, кто пытался впоследствии так же «легко» рассказать что-то, убеждался насколько это трудно сделать на практике. Когда я в глазах Марка Александровича уже достаточно «повзрослел», у меня было с ним несколько разговоров на эту тему, последний — на конгрессе по нелинейному анализу в Афинах в 1996 году, где Марк в блестящей манере своих лучших лекций 60-х годов сделал доклад о работах по конусно-гистерезисной тематике Алеши Покровского и своего последнего ученика Димы Рачинского, последнюю на моей памяти. Тогда Марк Александрович в ответ на мои поздравления признался (хотя это признание я уже слышал от него и раньше), что он волновался!, что подготовка к такой часовой лекции заняла у него четыре! часа, что он продумывал что именно, и в какой момент он будет писать на доске, в каких местах сделает паузу и пошутит: «людям надо дать расслабиться и переварить информацию!», — где он будет стоять и к кому во время рассказа будет преимущественно обращаться. И это при его почти 50-и летнем опыте чтения лекций!

Но вернемся к семинару... Казалось, не торопясь и без особого напряжения Марк Александрович довольно быстро, как ни странно, — или мне показалось, что быстро? — умудрился изложить всю геометрию потери устойчивости положения равновесия системы. И мне, поглядывавшему со своего места сбоку на сидящих, чтобы сравнить их реакцию со своей (я любил это делать — часто такое сравнение помогало уловить тот момент, когда ты начинал терять нить или, наоборот, вдруг в результате какой-то, вроде не относящейся к делу, реплики, прозреть) было ясно, что все, что рассказывает Марк Александрович понятно всем! А ведь здесь собрались люди не только тяготевшие к интересам Марка, и потому хорошо знавшие дифференциальные уравнения, но и занимавшиеся более далекими вопросами. Уже все четко понимали, что при одних значениях параметра решения системы, закручиваясь спиралью, приближаются к положению равновесия, а при других убегают от него.

И когда Марк Александрович, наконец, сказал, что это все было введение, а вот теперь он хочет «поймать» периодические решения, которые в этой ситуации должны! быть в любой малой окрестности положения равновесия при каких-то, увы! нам не известных значениях параметров — ни для кого не оставалось никакого сомнения, что такие решения должны быть! Куда же им деваться? Ведь «акулов не бывает!» — как любил выражаться Марк, когда хотел подчеркнуть, что обычно все устроено очень просто, а если что-то уж больно «накручено», то скорее всего мы не понимаем чего-то принципиального. К этому моменту на доске практически не было написано формул — лишь нарисованы те самые окружности и спирали с несколькими жирными точками и стрелками на них, но все определения, если и не были пока формально произнесены Марком, то во всяком случае в голове у каждого уже сидели, и в этот момент, казалось, вопрос Марка: «Витя! Тебе все понятно? Можешь дать определение...?» мне был не страшен.

Уже много позднее я понял, что это тоже был один из наработанных Марком Александровичем приемов — сначала заставить аудиторию или собеседника понять суть явления геометрически, — после того, как поверишь в него, вернее, «увидишь» его, доказательство провести бывает уже совсем несложно. И уже ясно было, что к этому моменту вся аудитория четко понимала, что происходит с системой — и это при том, что как я узнал позднее, став просматривать литературу по бифуркации Хопфа (а именно про нее, не употребляя соответствующего термина, рассказывал нам Марк Александрович), в то время слова «бифуркация Хопфа» употреблялись в статьях и книгах чуть ли не как синоним некоего «теста на избранность» — кто понял, что это такое, кто знает доказательства, тот как бы прошел экзамен на профпригодность. А Марк Александрович всех нас научил увидеть что там «внутри» этой самой «элитной проблемы» чуть ли не за 15 минут!

И вот тут Марк Александрович сформулировал то, что получилось в результате, предельно ясно: для того, чтобы найти периодические решения нужно выписать уравнение, в котором пространственная переменная (неизвестное пока еще начальное условие, из которого «выпускается» периодическое решение) будет равна оператору сдвига по траекториям уравнения за неизвестное время (это и будет период решения) и при неизвестном значении параметра. Итого получается, что мы имеем систему из двух уравнений (пространственная переменная-то двумерна), зависящую от четырех переменных — две координаты пространственной переменной плюс период решения и плюс значение параметра. И тут мгновенно, из минуту назад казавшейся абсолютно понятной каждому, задача опять превратилась в совершенно непонятную! Как найти решение этой системы? — все, к чему мы привыкли, относилось к определенным системам уравнений с достаточно хорошими свойствами, а тут — система недоопределенная (число переменных больше числа уравнений)! Да к тому же Марк Александрович еще сильнее решил «добить» слушающих — и заметил, что с топологической точки зрения здесь есть еще одна неприятность — множество решений выписанного уравнения в линейном случае состоит из континуума неизолированных точек! Это мгновенно испортило настроение всем «кто понимал», и в аудитории, где еще за секунду до того был слышен шепот, наступила некая напряженная пауза — понимаю, что это штамп, но было именно так! — настроение в аудитории мгновенно изменилось! Появилась непонятность! и при том, казалось, на ровном месте! «Театр» продолжался!

Здесь мне придется еще раз сделать отступление. Дело в том, что на математико-механическом, а позднее математическом факультете Воронежского университета, топологические методы анализа уже задолго, по-видимому, до моего появления были «в почете». И удивительного в этом ничего не было — начиная с работ Лере, многие университеты активно развивали топологическую тематику. Как мне кажется, отличие ВГУ от остальных университетов заключалось в том, что Марком Александровичем с учениками в начале 60-х годов была написана совершенно необычная, и совершенно зачаровавшая меня в то время (невольно напрашивается слово «классическая») книжка — «Векторные поля на плоскости». На нашем курсе эта книга изучалась в каком-то спецкурсе то ли в конце первого, то ли в начале второго курса, а может, и на третьем, — когда мы были разделены по специализациям, и написана она была настолько просто и понятно, и в то же время абсолютно строго, что уже на этих младших курсах студенты не испытывали никаких трудностей в ее «познании». А в результате получилось так, что на нашем факультете все, кто хоть как-то интересовался не просто учебой, но математикой, достаточно хорошо понимали геометрию и топологию решения уравнений. И для всех было понятно, что в нормальных ситуациях при «малом шевелении» уравнений с изолированным решением это решение тоже немного сдвинется, но ни в коем случае никуда не исчезнет. Но здесь ситуация была другой! Решений у того уравнения, которое нужно было бы «пошевелить», было бесконечно много, и они были неизолированы! Нас этому не учили! Именно это мгновенно (или, если честно, — после подсказки Марка Александровича) осознали все, и именно это было причиной появившегося в аудитории напряжения!

Марк Александрович был мастером «держать паузу». Вот и тут, рассказав все это, он стал ходить перед доской и наблюдать, как аудитория думает! И только через несколько минут, убедившись, что никаких конструктивных соображений из аудитории не поступает, он продолжил. Он сказал: «Ну что же, раз переменных больше, чем уравнений, давайте период решения и параметр определим как функцию пространственных переменных» (нет! пока не понятно! как определить, зачем, что это даст?). Подождал реакции... Ну смотрите, сказал он, давайте в произвольном месте на плоскости нарисуем «кривой прямоугольник» образованный пересечением двух лучей, выпущенных из положения равновесия, и двух концентрических окружностей с центрами в этом положении равновесия. Тогда, если мы пошевелим немного значение параметра, то можно заставить векторное поле «оператор сдвига минус пространственная переменная» «смотреть» внутрь прямоугольника на его сторонах, образованных окружностями, а если пошевелить немного период решения, то опять-таки, можно заставить векторное поле смотреть внутрь прямоугольника на его радиальных сторонах (что-то стало смутно проникать в голову!). И Марк Александрович нарисовал стандартную в теории векторных полей картинку кривого прямоугольника с торчащими внутрь на каждой его границе стрелками. Опять пауза... опять ожидание реакции... И вдруг, стало все понятно! Мне показалось, что всем! и сразу! Действительно! Ведь теперь ясно, что можно всегда так подобрать значения периода и параметра как непрерывные функции пространственной переменной, чтобы на границе нашего кривого прямоугольника вращение поля было отличным от нуля! Ну а дальше уже все совершенно очевидно — тогда будут решения, тогда понятно, что отброшенная в самом начале лекции нелинейность действительно не помешает, тогда... Все! Все ясно! Вот теперь все ясно до конца! Ясна идея, и теперь уже понятно какие оценки надо доказывать, что и как конкретно выписывать, чтобы провести строгое доказательство. Действительно — «акулов не бывает!» и мир устроен так просто!

Конгресс IFAC. Афины, 1996. Беседа...

Сейчас, перечитывая еще раз все написанное, мне опять приходит в голову вопрос, который раз за разом возникал, когда я возвращался к задаче о точках бифуркации, а с ней — и к идее функционализации параметра. Так все-таки, функционализация параметра — это действительно метод в строгом понимании этого слова или тривиальность? Дело в том, что и на собственном опыте, и наблюдая своих товарищей, я видел, что после осознания, идея функционализации параметра воспринимается как нечто совершенно очевидное — ну кому же не понятно, что в переопределенной системе надо как-то «зафиксировать» лишние переменные и задача станет решаемой обычными «книжными» методами. Но затем я вспоминаю многочисленные семинары, на которых и мои товарищи, и я, излагали эту идею, иногда дословно повторяя рассказ Марка Александровича, иногда — применительно к каким-то другим ситуациям. И каждый раз с неизбежными и непринципиальными поправками на лекционное мастерство рассказывавших я наблюдал одну и ту же картину — сначала непонимание и неверие слушавших, иногда яростное сопротивление и попытки найти ошибки в рассуждениях под совершенно «разумным» предлогом, что в таком сложном явлении разобраться таким простым способом невозможно. А под конец — признание, хотя и сопровождавшееся частенько обвинением: «ну, если бы ты с самого начала рассказал все понятно...»

Как закончился семинар, мне почему-то не запомнилось — то ли сказалось напряжение, в котором я вместе со всей аудиторией пребывал до того, то ли последовавшее за этим обсуждение было уже достаточно традиционным, шумным и малоинформативным. Не помню, просил ли Марк Александрович кого-то в следующий раз привести детальное доказательство рассказанной идеи, как это обычно им делалось, или его кто-то отвлек и этого сказано не было. Помню, что никакого публичного продолжения, в котором я принимал бы участие, не было — не было больше и семинаров! — я имею в виду регулярных семинаров Марка Александровича. Марк Александрович вынужден был перебраться из Воронежа в Москву. Я же почти два года до поступления к нему в аспирантуру виделся с Марком Александровичем эпизодически, примерно раз в два месяца — либо во время его кратких наездов в Воронеж, либо во время моих поездок на день-два к нему в Институт проблем управления.

Казалось, прошел семинар — и прошел! Но даже не проводя в течение долгого времени после этого формальных выкладок в обоснование рассказанного Марком приема, вернее метода функционализации параметра, в моей голове что-то изменилось — мне вдруг стали понятны многие, хотя, естественно, не все!, теоремы о точках бифуркации, с которыми я после того сталкивался в публикациях или «живьем». Я смог даже пробиться через громоздкое аналитическое доказательство самого Хопфа! Все было просто — надо было только «пошевелить» все имеющиеся в распоряжении параметры и посмотреть, что при этом произойдет с соответствующей задачей! И, наверное впервые, я применил этот метод на практике и написал подробные доказательства в существенно более «закрученной» ситуации, связанной с так называемым явлением субфуркации, будучи в аспирантуре.

Марк Александрович и до того момента несколько раз в разговорах спрашивал, понял ли я его доклад на том семинаре, и мягко подталкивал меня к написанию доказательства. Но мне каждый раз было лень это делать, а у Марка Александровича постоянно не хватало времени на то, чтобы написать все самому; давить же на учеников было не в его духе. И так письменного и достаточно детального изложения метода функционализации параметра в течение нескольких лет просто не существовало — это был типичный пример того, про что в математике говорят «фольклорно известный». Но после доказательства теоремы о субфуркации у меня уже не осталось никаких формальных предлогов отказываться от пожелания Марка Александровича написать, наконец, подробное изложение метода «в чистом виде».

Статья была нами написана и послана в только что образовавшийся тогда журнал «Nonlinear analysis: Theory, Methods & Applications». Но вскоре довелось случиться печальному инциденту с корейским «Боингом» над Камчаткой. Несмотря на то, что Марка Александровича о представлении в журнал хоть какой-нибудь статьи долго перед этим упрашивал главный редактор, и статья, таким образом, фактически была заказной, ее «потеряли» в редакции и «нашли» спустя лет пять, когда мы уже отчаялись дождаться публикации и в душе махнули на нее рукой. Так и получилось, что первое подробное, с доказательствами, описание метода функционализации параметра, в том виде как он был рассказан нам Марком Александровичем, появилось лишь в 1987 году — спустя более 15-и лет после того семинара!