Введение в топологические методы анализа
(cтепень отображения)
Курс посвящен изложению основ важного геометрического метода анализа — теории степени отображения и ее приложениям к разным задачам алгебры многочленов, теории функций, теории обыкновенных дифференциальных, уравнений. Курс рассчитан на студентов физико-математических специальностей университетов, аспирантов, научных работников, интересующихся нелинейными проблемами.
Программа
- Векторное поле. Угловая функция. Вращение поля. Формула Пуанкаре. Вычисление вращения.
- Векторные поля на замкнутых кривых. Замкнутые кривые. Вращение и угловая функция. Формула Пуанкаре. Об одном признаке отличия вращения от нуля. Нечетные поля. Поле касательных.
- Особые точки векторного поля. Вращение на границе многосвязной области. Вращение поля без нулевых векторов. Особая точка и ее индекс.
- Теорема об алгебраическом числе особых точек. Продолжение векторных полей. Продолжение без нулевых векторов.
- Гомотопные векторные поля. Определение гомотопности. Основная теорема. Обратная теорема. Признаки гомотопности. Векторные поля, близкие к нечетным.
- Вращение на границе произвольной области. О векторных полях на двумерных многообразиях. Произведение вращений. Устойчивость особой точки.
- Порядок точки и степень отображения. Порядок точки относительно образа границы. Порядок точки относительно локально простой кривой.
- Степень отображения на окружность. Локальная степень отображения. Степень отображения области.
- Угловой порядок локально простой кривой. О вращении разрывных полей.
- Векторные поля с главной линейной частью. Вычисление индекса по главной части поля. Линейные поля. Вычисление индекса по линеаризованному полю. Асимптотически линейные поля.
- Векторные поля с вырожденной линейной частью. Общая формула. Вычисление индекса. Еще один способ вычисления индекса.
- Векторные поля с главной полилинейной частью. Полилинейное поле. Общая теорема. Частный класс полилинейных полей.
- Общий случай полилинейных полей. Билинейные поля. Основная формула для вычисления индекса. Асимптотически полилинейные поля.
- Особые точки аналитических функций. Функция w=zn. Индекс нуля аналитической функции. Индекс полюса.
- Разрешимость уравнений. Теорема Боля-Брауэра. Основная теорема алгебры. О нулях и полюсах аналитических функций.
- Системы двух и трех уравнений. Системы с полилинейной главной частью.
- Существование неявной функции. О расположении корней многочлена.
Литература
- Красносельский М.А., Перов А.И., Поволоцкий А.И., Забрейко П.П. Векторные поля на плоскости. М.: Физматгиз. 1963. — 248 с.
Дополнительная литература
- Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука. 1975. — 512 с.
- Куратовский К. Топология. М.: Мир. 1966. Т. 1. — 594 с.
- Куратовский К. Топология. М.: Мир. 1969. Т. 2. — 624 с.
- Аносов Д.В. Отображения окружности, векторные поля и их применения. — М.: МЦНМО, 2003. — 120 с.
- Прасолов В.В. Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии. – М.: МЦНМО, 2004. — 352 c.
Рабочие материалы
Видеоролики лекций на YouTube
Ссылки для скачивания
| 
