Войти
Логин:
Пароль:
Забыли пароль?
научная деятельность
структура институтаобразовательные проектыпериодические изданиясотрудники институтапресс-центрконтакты
русский | english

 Введение в топологические методы анализа
(cтепень отображения)

Курс посвящен изложению основ важного геометрического метода анализа — теории степени отображения и ее приложениям к разным задачам алгебры многочленов, теории функций, теории обыкновенных дифференциальных, уравнений. Курс рассчитан на студентов физико-математических специальностей университетов, аспирантов, научных работников, интересующихся нелинейными проблемами.

 Программа

  1. Векторное поле. Угловая функция. Вращение поля. Формула Пуанкаре. Вычисление вращения.
  2. Векторные поля на замкнутых кривых. Замкнутые кривые. Вращение и угловая функция. Формула Пуанкаре. Об одном признаке отличия вращения от нуля. Нечетные поля. Поле касательных.
  3. Особые точки векторного поля. Вращение на границе многосвязной области. Вращение поля без нулевых векторов. Особая точка и ее индекс.
  4. Теорема об алгебраическом числе особых точек. Продолжение векторных полей. Продолжение без нулевых векторов.
  5. Гомотопные векторные поля. Определение гомотопности. Основная теорема. Обратная теорема. Признаки гомотопности. Векторные поля, близкие к нечетным.
  6. Вращение на границе произвольной области. О векторных полях на двумерных многообразиях. Произведение вращений. Устойчивость особой точки.
  7. Порядок точки и степень отображения. Порядок точки относительно образа границы. Порядок точки относительно локально простой кривой.
  8. Степень отображения на окружность. Локальная степень отображения. Степень отображения области.
  9. Угловой порядок локально простой кривой. О вращении разрывных полей.
  10. Векторные поля с главной линейной частью. Вычисление индекса по главной части поля. Линейные поля. Вычисление индекса по линеаризованному полю. Асимптотически линейные поля.
  11. Векторные поля с вырожденной линейной частью. Общая формула. Вычисление индекса. Еще один способ вычисления индекса.
  12. Векторные поля с главной полилинейной частью. Полилинейное поле. Общая теорема. Частный класс полилинейных полей.
  13. Общий случай полилинейных полей. Билинейные поля. Основная формула для вычисления индекса. Асимптотически полилинейные поля.
  14. Особые точки аналитических функций. Функция w=zn. Индекс нуля аналитической функции. Индекс полюса.
  15. Разрешимость уравнений. Теорема Боля-Брауэра. Основная теорема алгебры. О нулях и полюсах аналитических функций.
  16. Системы двух и трех уравнений. Системы с полилинейной главной частью.
  17. Существование неявной функции. О расположении корней многочлена.

Литература

  1. Красносельский М.А., Перов А.И., Поволоцкий А.И., Забрейко П.П. Векторные поля на плоскости. М.: Физматгиз. 1963. 248 с.

 Дополнительная литература

  • Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука. 1975. 512 с.
  • Куратовский К. Топология. М.: Мир. 1966. Т. 1. 594 с.
  • Куратовский К. Топология. М.: Мир. 1969. Т. 2. 624 с.
  • Аносов Д.В. Отображения окружности, векторные поля и их применения. — М.: МЦНМО, 2003. — 120 с.
  • Прасолов В.В. Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии. – М.: МЦНМО, 2004. — 352 c.

Рабочие материалы

 

 

 

 

 

  © Федеральное государственное бюджетное учреждение науки
Институт проблем передачи информации им. А.А. Харкевича Российской академии наук, 2016
Об институте  |  Контакты  |  Старая версия сайта