Учебный материал для лекций "Эргодические марковские процессы и уравнения Пуассона" (Мехмат МГУ, весна 2009)

учебный файл 10.04.2009 (Добавлены оценки двойной и тройной сумм в оценке третьего момента, используемые в ЦПТ, стр. 28-31 (31.03.2009); добавлено про "последний коридор", про каппа-эпсилон, добавлена нестационарная ЦПТ (04.04.2009), остальное - правка).

Краткий комментарий. Лекции посвящены двум вопросам из теории марковских цепей.  (1) показать, как установить гладкость по параметру решения уравнения Пуассона (и, возможно, стационарной плотности); (2) привести пример доказательства закона больших чисел и центральной предельной теоремы. Закон больших чисел можно, конечно, найти во многих учебниках, см. [А.Н.Ширяев, Вероятность, любое издание, глава 1, в задачах]. ЦПТ хорошо известна, однако, в курсы лекций, да и в учебники входит крайне редко, хотя - вместе с ЗБЧ - такой результат был, собственно, одной из главных мотиваций самого А.А.Маркова (1856-1922) при "открытии" процессов Маркова. Алгебраический метод доказательства для конечных МЦ, по-видимому, восходящий к самому Маркову, содержится в учебнике В.Н.Тутубалина "Теория вероятностей и случайных процессов", 1992. В некоторых курсах [см., нпр., А.А.Боровков, "Теория вероятностей"] дается частный случай ЦПТ для времени пребывания в данном состоянии, из которого, однако, общая ЦПТ немедленно не следует (нужен многомерный вариант, но это уже технически сложнее); время пребывания же изучается с помощью теории восстановления. Конечно, в монографиях ЦПТ найти можно, в том числе с доказательством на основе восстановления. В данном курсе будет использован метод С.Н.Бернштейна, допускающий несложное обобщение на весьма широкий класс МЦ (а также на немарковские стационарные процессы), в частности, на неконечные и некомпактные фазовые пространства. Гладкость по параметру - потребность стохастического анализа. Имеется в виду (когда-нибудь, не в данном курсе) применение формулы Ито, в той или иной (непрерывной или дискретной) форме, для чего полезно знать условия существания двух производных. Само решение уравнения Пуассона при этом играет роль "корректора" в некоей асимптотической процедуре, однако, в данном курсе этого материала нет. Подробности на лекциях и в ссылках (возможно, комментарий еще будет дополнен, как, собственно, и файл). Текст в виде pdf-файла, по-английски. Это потому, что разные части курса читались на аспирантских школах в Хельсинки (2004 и 2008) и Лидсе (UK, 2008). По причине неоднородности уровня слушателей часть материала включена лишь "для полноты изложения": что знакомо - пропускайте без раздумья. Ссылка на "родственный" курс 2004г. (откуда будут использованы разделы 2 и 4 в дискретного времени):

финский препринт

Ссылка на лидский вариант (по техническим причинам на сайте университета Шеффилда), - непосредственный предшественник существенно переработанного "учебного файла", - в виде собрания нескольких файлов, большинство в формате beamer (вызвать ссылку "Material"):

английские лекции

@ А.Ю.Веретенников/A.Yu.Veretennikov 2008-2009, University of Leeds & IITP, Moscow.

Разрешено использование в учебных целях с обязательной ссылкой на источник.

Предполагается добавить некоторую библиографию, хотя первые ссылки и материал "для дальнейшего чтения" можно найти в финском файле.