Войти
Логин:
Пароль:
Забыли пароль?
научная деятельность
структура институтаобразовательные проектыпериодические изданиясотрудники институтапресс-центрконтакты
русский | english

Здесь будут собраны некоторые вспомогательные материалы (в основном, линки, а не сами лекции) к спецкурсу по стохастическим дифференциальным уравнениям осенью 2021 года, читаемого для 508 группы (теперь и для 509) кафедры теории вероятностей мехмата МГУ, а также для всех желащих присоединиться к этому ск, в том числе, из других университетов. 

Первая лекция прошла онлайн на платформе MsTeams в пятницу с 12:30 (одна пара, время московское) 3 сентября. Линк группы (не дающий никакой физической возможности зарегистрироваться) - https://teams.microsoft.com/l/team/19%3azriq0zDWhkaSpbJIe8VAPi6SoCgSOIR8twb_BV1wNns1%40thread.tacv2/conversations?groupId=fd7aa0a0-20a1-4e8b-8d32-d9c19dbb2d72&tenantId=21f26c24-0793-4b07-a73d-563cd2ec235f

На самом деле для посещения первого занятия на МsТимз необходимо было прислать мне запрос на включение в группу на адрес ayv@iitp.ru (или на любой другой, который Вы могли найти). Была проведена маленькая тренировка 02.09 в 19:00, на которую пришло несколько - примерно полдюжины - человек. 

Из-за некоторых проблемы с подключением у некоторых, не пришедших на тренировку, вторая лекция переносится на зум! (новый линк!) Материалы курса доступны все там же на страничке Тимз в разделе "Файлы". 

 

Подключиться к конференции Zoom (лекция 10.09.2021, переходим сюда)

https://us02web.zoom.us/j/81498735552?pwd=NGYrck5IUUtJRFBYRjd0WjBCa1F5dz09

Идентификатор конференции: 814 9873 5552

Код доступа: 125477

Платформа Тимз останется в запасе, и я продолжу выкладывать именно туда материалы ск - записки лекций и т.п. Видео следующих лекций должны быть доступны тут с лагом в несколько дней до недели:  https://disc.iitp.ru/index.php/s/LSORRUYdRWLeThz 

На 24.09.2021 тут выложены лекция 2 и лекция 3. 

На 01.10.2021 добавлена запись лекции 4. На 07.10.2021 добавлена лекция 5 (без указания, что это пятая лекция).

РезюмеПолугодовой спецкурс будет прочитан для студентов кафедры теории вероятностей пятого курса, уже прослушавших основы стохастического интегрирования, и лишь первые полторы, или две лекции будут посвящены краткому повторению этих основ. Целью курса является более глубокое введение в современную теорию стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) Ито, включающую такие разделы, как сильные и слабые решения, связи СДУ с уравнениями в частных производных, элементы стохастического управления с уравнением Беллмана, уравнение Пуассона «во всем пространстве», элементы теории оптимальной остановки, обратные СДУ Парду – Пенга и их связь с оптимальным управлением.

План спецкурса по СДУ осень 2021

Литература:

1. Н.В.Крылов, Введение в теорию случайных процессов, части 1, 2, МГУ, 1986-1987 (не нашедшим данный источник в интернете может быть выслан линк; также можно использовать английскую версию этого учебника, N.V. Krylov, Introduction to the Theory of Random Processes, AMS, 2002, и часть ссылок будет на это издание, которое также может быть найдено в интернете, либо задайте мне вопрос о нем.)

2. А.В.Булинский, А.Н.Ширяев, Теория случайных процессов. ФИЗМАТЛИТ, 2005 (насколько мне известно, в интернете можно найти)

 

3. MAGIC: Stochastic Processes (MAGIC065), 2011/12, http://maths-magic.ac.uk/course.php?id=205

 

4. А.Д.Вентцель, Курс теории случайных процессов, М., Наука, 1975 (2е изд. 1996).

Дополнительная литература приводится в записках лекций, сюда не выкладывается. 

NB: Помимо моих лекций на летней вероятностной школе в Новосибирске, конспект которых выложен на страничке MsTeams и которые будут доступны всем участникам группы после их регистрации на Тимз (которая для этого и полезна, несмотря на то, что следующие лекции читаются на зуме), слушателям могут быть рекомендованы для повторения основ теории СДУ также видеолекции Екатерины Глиняной (Iнститут математики НАН Україны) на английском языке, план которых приведен ниже:  

https://www.youtube.com/channel/UCHUHV6wpFRf--8OkmplIR-Q

План лекций Е. Глиняной

NB: Все вспомогательные материалы (то есть, всё, кроме конспекта лекций осеннего ск, задач к этому ск и видеозаписей самих лекций ск) предоставляются как они есть лишь для ознакомления. К экзамену тем, кто будет его сдавать, рекомендуется готовиться на основе моих лекций, а также ссылок, данных в лекциях, или в их конспекте. Если на экзамене Вам дана задача и Вы используете для ее решения методы, отличные от изложенных в моих лекциях, то знайте, что это разрешено, однако, будьте готовы комментировать подробно все детали этих иных методов.

Лекция 1 (03.09.2021): Винеровский процесс (ВП), квадратическая вариация, стохастический интеграл, немного о мартингалах и неравенствах, формула Ито.

Линк на видео лекции 1: https://teams.microsoft.com/l/meetup-join/19%3Azriq0zDWhkaSpbJIe8VAPi6SoCgSOIR8twb_BV1wNns1%40thread.tacv2/1630661347072?context=%7B%22Tid%22%3A%2221f26c24-0793-4b07-a73d-563cd2ec235f%22%2C%22Oid%22%3A%220ce996c2-61bb-4b9b-9b2c-a92ec87e07e7%22%2C%22MessageId%22%3A%221630661347072%22%7D

(возможно, там понадобится пароль к какому-либо сервису, гуглу, или майкрософту)

09.09.2021: На страничку МсТимз добавлена предварительная версия лекции 2 (вместе с лекцией 1). 

10.09.2021: Разработка данного курса поддержана грантом Фонда развития теоретической физики и математики "Базис". Слушателям, успешно сдавшим экзамен, по их желанию могут быть выданы соответствующие сертификаты Фонда (это означает, в частности, что сдавать экзамен может любой слушатель, в том числе, из других групп, курсов, факультетов и университетов; единственное ограничение: это можно будет сделать не когда угодно, а лишь в один из дней, зарезервированных для групп 508 и 509 ММФ МГУ в январе 2022г.).

Поправка:  Слушателям, для которых данный Курс не является обязательным, но которые сдали экзамен, Фонд может предоставить по запросу соответствующий сертификат.

Лекция 2 (10.09.2021): Формула Ито (включая многомерный вариант), понятие об СДУ, теоремы Ито существования и единственности, непрерывная зависимость от н.у., марковское свойство решения, строго марковское свойство, свойство усреднения для ВП.

10.09.2021 после лекции 2: В подразделе "Ito"s formula multidimensional" (первая лекция) добавлено определение многомерного СИ и два упражнения о многомерном же варианте изометрии Ито, файл на страничке в Тимз обновлен. Видеозапись лекции тут: https://disc.iitp.ru/index.php/s/LSORRUYdRWLeThz, а где файл на двух страничках на зумовской whiteboard, я не нашел (и, вероятно, уже никогда не найду, надо было сразу поискать, как его сохранить), но во всяком случае при воспроизведении самой записи эти рисунки на "доске" появляются.

Относительно начального плана мы уже немного отстаем. Это не беда, лишь бы было понятно, однако, серьезного сокращения программы не  будет.

Лекция 3 (17.09.2021): Другая теорема о потраекторной единственности (упрощенная версия теорем Накао и Звонкина) с детальным доказательством; стохастические экспоненты, теоремы Гирсанова; сильные решения: теоремы Ямада - Ватанабе (с доказательствами, или с набросками оных) и некоторые другие (без доказательств).

Лекция 4 (24.09.2021): Одна теорема сравнения; слабые решения СДУ, теоремы Скорохода и Крылова; неравенства Крылова (кратко).

Лекция 5 (01.10.2021): Неравенства Крылова (более подробно, однако, все же б/д); соболевские производные; формула Ито-Крылова; случайная замена времени; характеризация Леви винеровского процесса; мартингальная проблема. 

Лекция 6 (08.10.2021): СДУ с отражением, локальное время; задача Скорохода; многомерный вариант. 

Относительно плана уже не отстаем.

Лекция 7 (15.10.2021): Связь винеровского процесса с оператором Лапласа и решений общих СДУ с общими эллиптическими и параболическими операторами.

 

 

  © Федеральное государственное бюджетное учреждение науки
Институт проблем передачи информации им. А.А. Харкевича Российской академии наук, 2021
Об институте  |  Контакты  |  Старая версия сайта