25.01.2022: основная часть экзамена завершена, сдали 38 человек из двух групп; двое заболевших не сдавали; если это необходимо, они могут связаться со мной по имейлу. 

23.01.2022: первая часть экзамена для 508 гр, организация точно такая же, как 21.01.2022 (основной сайт - тимз, запасной вариант - зум, линки те же, начало в 9:30). К тимз надо иметь доступ; для некоторых это может означать использование другого электронного адреса (который необходимо мне заранее сообщить!); также, иногда корпоративные настройки могут не разрешать заходить в тимз, так что постарайтесь это как-то обойти. 

24.01.2022: вторая часть экзамена для 508 гр, организация точно такая же, как 20.01.2022 (основной сайт - кафедральный зум, запасной вариант - тимз, линки те же, начало в 9:30). 

20.01.2022: Сегодня экзамен для восьми студентов гр. 509. Начало в 9:30, очередь - у старосты группы. Подключиться к конференции Zoom

https://us02web.zoom.us/j/87461265588?pwd=R2ZGZXRZaVVpOEpUS0hSbGFaWVRiZz09

Идентификатор конференции: 874 6126 5588
Код доступа: 947030

Запасной вариант - тимз,
https://teams.microsoft.com/l/team/19%3azriq0zDWhkaSpbJIe8VAPi6SoCgSOIR8twb_BV1wNns1%40thread.tacv2/conversations?groupId=fd7aa0a0-20a1-4e8b-8d32-d9c19dbb2d72&tenantId=21f26c24-0793-4b07-a73d-563cd2ec235f

ЗАВТРА 21.01.2022 для другой части группы 509 организация встречи ДРУГАЯ. Начало также в 9:30. Встреча будет происходить 21.01.2022 в тимз,

https://teams.microsoft.com/l/team/19%3azriq0zDWhkaSpbJIe8VAPi6SoCgSOIR8twb_BV1wNns1%40thread.tacv2/conversations?groupId=fd7aa0a0-20a1-4e8b-8d32-d9c19dbb2d72&tenantId=21f26c24-0793-4b07-a73d-563cd2ec235f

Запасной и ненадежный вариант в зуме
https://zoom.us/j/9828546641?pwd=Wk5sUmk0bXNnMTRBY1Q3Nkcwc3Bkdz09

Meeting ID: 982 854 6641
Passcode: 518660

Экзамен для группы 508 пройдет 23 и 24.01.2022.

___________________________

17.01.2022: загружено видео последней обзорной лекции от 24.12.2021. 

17.01.2022: назначены экзамены, в группе 508 на 23 и 24 января, у группы 509 на 20 и 21 января 2022г, все - онлайн; все подробности - через старост групп; 7 студентов группы 509 сдали экзамен досрочно в конце декабря; консультация перед экзаменом состоится предположительно 18го января.

17.01.2022: экзамен 20 и 24 января, как и предполагаемая консультация 18 января могут быть проведены в кафедральном зуме, линк будет выложен; на 21 и 23 января зума нет, кроме стандартного по 40 минут, поэтому на эти даты (21 и 23) могу предложить только тимз; те, кто записан, или будет записан на эти числа - просьба убедиться, что к страничке тимз вы имеете доступ!

17.01.2022: помимо линка на ютуб ИППИ, видеозаписи лекций 2 - 15 и записки лекций в виде единого пдф-файла доступны здесь: https://disk.yandex.ru/d/R1lbpjyvHkKoTQ (напомню, что видео лекции 1 и перезапись "пострадавшей" лекции 9 в трех частях, а также записки лекций находятся на странице ск в Тимз).

24.12.2021: загружены лекции 14 и 15.

04.12.2021: меня все сильнее беспокоит слабая посещаемость (по моим прикидкам, курс слушает менее половины из тех, для кого он обязателен). А курс совсем не простой. Как собираются сдавать те, кто не ходит? Неужели кто-то думает, что по видео можно быстро догнать и все выучить? Конспект лекций, конечно, есть, но все должны понимать, что во время лекции лектор обращает внимание на важные моменты, которые могут быть легко пропущены во время самостоятельного чтения. Также, длинные выкладки может быть не так уж просто читать самостоятельно, тогда как на лекции это, предположительно, намного легче просто в силу того, что лектор комментирует, поясняет смысл того, или иного преобразования, или неравенства. Читать рекомендованную литературу, конечно, тоже очень полезно (потенциально даже более, чем слушать лекции), однако, это займет еще намного больше времени, чем просмотр видео. Часть последней лекции, а может быть, она вся будет посвящена повторению. Возможна дополнительная лекция с повторением всего материала. Однако, понятно, что за два часа повторить семестровый курс можно только очень вкратце. Призываю всех тех, кто посещает лекции нерегулярно, пересмотреть ваш подход и всем посетить оставшиеся лекции, предварительно почитав конспект лекций, чтобы иметь представление о происходящем. Весь оставшийся материал будет посвящен обратным СДУ (FBSDEs, немного о 2BSDEs) и их связям с задачами стохастического управления. Успехов.

04.12.2021: Вопрос: если устраивать дополнительную лекцию, то когда? Как вариант - 24 лекабря в пятницу в обычное время. (Пока что я предполагаю, что должны состояться лекции 10.12.21 и 17.12.21.) Обдумайте и, пожалуйста, сообщите - лучше всего, через старост групп - если есть другие предложения.

Новости на 03.12.2021: и еще раз - убедительная просьба всем не забывать сразу после лекции из зума уходить. Пока что на не менее, чем на трех последних лекциях кто-то не выходит вовремя, потом говоря, что в конце его отвлекли; в одном случае следующий лектор не смог начать из-за этого свою лекцию в 14:30. Поставьте будильник, что ли, если не получается себя проконтролировать до конца лекции.

Новости на 27.11.2021: еще раз убедительная просьба всем не забывать сразу после лекции (и небольшого количества вопросов, если это необходимо) из зума уходить.

Новости на 27.11.2021: загружен отредактированный pdf конспекта лекций включая 12-ю со слегка поправленным/дополненным доказательством леммы 22 из раздела 12.4. Также восстановлено/записано ранее полностью пропущенное доказательство теоремы 57 из раздела 12.1. Оба момента будут, конечно, прокомментированы на следующей лекции.

Новости на 19.11.2021: к файлу-конспекту лекций добавлено оглавление на первых страницах с названиями лекций и подразделов.

Новости на 17.11.2021: убедительная просьба всем сразу после лекции (и небольшого количества вопросов, если это необходимо) из зума уходить. Иначе зум считается все еще занятым, и следующий лектор не может начать свое занятие. А ваш лектор не контролирует зум, поэтому никого выгрузить не может. 

Новости на 11.11.2021: перезапись лекции 9 выложена в папке Files/Recordings на страничке ск в Тимз в трех частях; части пронумерованы. Очень вкратце этот материал будет повторен на очередной лекции 12.11.2021. 

Новости на 02.11.2021: лекция 5 ноября отменяется, согласно приказа ректора.

Новости на 29.10.2021: обратите внимание на два объявленных доклада Н.В.Крылова о диффузионных процессах (с интегрируемым в некоторой степени сносом) и о нелинейных уравнениях в частных производных: см. http://iitp.ru/ru/news/ Первый доклад сегодня 29.10. 2021 поздно вечером в 23:00 по московскому времени! Второй в среду 03.11.2021 в 16:45. 

______________________________________________________________________________________________________________________________

Здесь будут собраны некоторые вспомогательные материалы (в основном, линки, а не сами лекции) к спецкурсу по стохастическим дифференциальным уравнениям осенью 2021 года, читаемого для 508 группы (теперь и для 509) кафедры теории вероятностей мехмата МГУ, а также для всех желащих присоединиться к этому ск, в том числе, из других университетов. 

Первая лекция прошла онлайн на платформе MsTeams в пятницу с 12:30 (одна пара, время московское) 3 сентября. Линк группы (не дающий никакой физической возможности зарегистрироваться) - https://teams.microsoft.com/l/team/19%3azriq0zDWhkaSpbJIe8VAPi6SoCgSOIR8twb_BV1wNns1%40thread.tacv2/conversations?groupId=fd7aa0a0-20a1-4e8b-8d32-d9c19dbb2d72&tenantId=21f26c24-0793-4b07-a73d-563cd2ec235f

На самом деле для посещения первого занятия на МsТимз необходимо было прислать мне запрос на включение в группу на адрес ayv@iitp.ru (или на любой другой, который Вы могли найти). Была проведена маленькая тренировка 02.09 в 19:00, на которую пришло несколько - примерно полдюжины - человек. 

Из-за некоторых проблемы с подключением у некоторых, не пришедших на тренировку, вторая лекция переносится на зум! (новый линк!) Материалы курса доступны все там же на страничке Тимз в разделе "Файлы". 

Подключиться к конференции Zoom (лекция 10.09.2021, переходим сюда)

https://us02web.zoom.us/j/81498735552?pwd=NGYrck5IUUtJRFBYRjd0WjBCa1F5dz09

Идентификатор конференции: 814 9873 5552

Код доступа: 125477

Платформа Тимз останется в запасе, и я продолжу выкладывать именно туда материалы ск - записки лекций и т.п. Видео следующих лекций должны быть доступны тут с лагом в несколько дней до недели:  https://disc.iitp.ru/index.php/s/LSORRUYdRWLeThz 

На 24.09.2021 тут выложены лекция 2 и лекция 3. 

На 01.10.2021 добавлена запись лекции 4.

На 07.10.2021 добавлена лекция 5. 

На 18.10.2021 добавлена лекция 6. 

На 29.10.2021 добавлены лекции 7 и 8.

На 19.11.2021 добавлены еще три видеозаписи, я пока не разобрался, что это за лекции, возможно, 9 - 11.

На 02.12.2021 несколько записей переименованы, так что теперь понятны их номера; одна запись пока без номера; также добавлена лекция 12.

На 10.12.2021 добавлены лекции 12 (от 26.11.2021) и 13 (от 03.12.2021).

На 24.12.2021 загружены лекции 14 и 15.

Резюме: Полугодовой спецкурс будет прочитан для студентов кафедры теории вероятностей пятого курса, уже прослушавших основы стохастического интегрирования, и лишь первые полторы, или две лекции будут посвящены краткому повторению этих основ. Целью курса является более глубокое введение в современную теорию стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) Ито, включающую такие разделы, как сильные и слабые решения, связи СДУ с уравнениями в частных производных, элементы стохастического управления с уравнением Беллмана, уравнение Пуассона «во всем пространстве», элементы теории оптимальной остановки, обратные СДУ Парду – Пенга и их связь с оптимальным управлением.

План спецкурса по СДУ осень 2021

Литература:

1. Н.В.Крылов, Введение в теорию случайных процессов, части 1, 2, МГУ, 1986-1987 (не нашедшим данный источник в интернете может быть выслан линк; также можно использовать английскую версию этого учебника, N.V. Krylov, Introduction to the Theory of Random Processes, AMS, 2002, и часть ссылок будет на это издание, которое также может быть найдено в интернете, либо задайте мне вопрос о нем.)

2. А.В.Булинский, А.Н.Ширяев, Теория случайных процессов. ФИЗМАТЛИТ, 2005 (насколько мне известно, в интернете можно найти)

3. MAGIC: Stochastic Processes (MAGIC065), 2011/12, http://maths-magic.ac.uk/course.php?id=205

4. А.Д.Вентцель, Курс теории случайных процессов, М., Наука, 1975 (2е изд. 1996).

Дополнительная литература приводится в записках лекций, сюда не выкладывается. 

NB: Помимо моих лекций на летней вероятностной школе в Новосибирске, конспект которых выложен на страничке MsTeams и которые будут доступны всем участникам группы после их регистрации на Тимз (которая для этого и полезна, несмотря на то, что следующие лекции читаются на зуме), слушателям могут быть рекомендованы для повторения основ теории СДУ также видеолекции Екатерины Глиняной (Iнститут математики НАН Україны) на английском языке, план которых приведен ниже:  

https://www.youtube.com/channel/UCHUHV6wpFRf--8OkmplIR-Q

План лекций Е. Глиняной

NB: Все вспомогательные материалы (то есть, всё, кроме конспекта лекций осеннего ск, задач к этому ск и видеозаписей самих лекций ск) предоставляются как они есть лишь для ознакомления. К экзамену тем, кто будет его сдавать, рекомендуется готовиться на основе моих лекций, а также ссылок, данных в лекциях, или в их конспекте. Если на экзамене Вам дана задача и Вы используете для ее решения методы, отличные от изложенных в моих лекциях, то знайте, что это разрешено, однако, будьте готовы комментировать подробно все детали этих иных методов.

Лекция 1 (03.09.2021): Винеровский процесс (ВП), квадратическая вариация, стохастический интеграл, немного о мартингалах и неравенствах, формула Ито.

Линк на видео лекции 1: https://teams.microsoft.com/l/meetup-join/19%3Azriq0zDWhkaSpbJIe8VAPi6SoCgSOIR8twb_BV1wNns1%40thread.tacv2/1630661347072?context=%7B%22Tid%22%3A%2221f26c24-0793-4b07-a73d-563cd2ec235f%22%2C%22Oid%22%3A%220ce996c2-61bb-4b9b-9b2c-a92ec87e07e7%22%2C%22MessageId%22%3A%221630661347072%22%7D

(возможно, там понадобится пароль к какому-либо сервису, гуглу, или майкрософту)

09.09.2021: На страничку МсТимз добавлена предварительная версия лекции 2 (вместе с лекцией 1). 

10.09.2021: Разработка данного курса поддержана грантом Фонда развития теоретической физики и математики "Базис". Слушателям, успешно сдавшим экзамен, по их желанию могут быть выданы соответствующие сертификаты Фонда (это означает, в частности, что сдавать экзамен может любой слушатель, в том числе, из других групп, курсов, факультетов и университетов; единственное ограничение: это можно будет сделать не когда угодно, а лишь в один из дней, зарезервированных для групп 508 и 509 ММФ МГУ в январе 2022г.).

Поправка:  Слушателям, для которых данный Курс не является обязательным, но которые сдали экзамен, Фонд может предоставить по запросу соответствующий сертификат.

Лекция 2 (10.09.2021): Формула Ито (включая многомерный вариант), понятие об СДУ, теоремы Ито существования и единственности, непрерывная зависимость от н.у., марковское свойство решения, строго марковское свойство, свойство усреднения для ВП.

10.09.2021 после лекции 2: В подразделе "Ito"s formula multidimensional" (первая лекция) добавлено определение многомерного СИ и два упражнения о многомерном же варианте изометрии Ито, файл на страничке в Тимз обновлен. Видеозапись лекции тут: https://disc.iitp.ru/index.php/s/LSORRUYdRWLeThz, а где файл на двух страничках на зумовской whiteboard, я не нашел (и, вероятно, уже никогда не найду, надо было сразу поискать, как его сохранить), но во всяком случае при воспроизведении самой записи эти рисунки на "доске" появляются.

Относительно начального плана мы уже немного отстаем. Это не беда, лишь бы было понятно, однако, серьезного сокращения программы не  будет.

Лекция 3 (17.09.2021): Другая теорема о потраекторной единственности (упрощенная версия теорем Накао и Звонкина) с детальным доказательством; стохастические экспоненты, теоремы Гирсанова; сильные решения: теоремы Ямада - Ватанабе (с доказательствами, или с набросками оных) и некоторые другие (без доказательств).

Лекция 4 (24.09.2021): Одна теорема сравнения; слабые решения СДУ, теоремы Скорохода и Крылова; неравенства Крылова (кратко).

Лекция 5 (01.10.2021): Неравенства Крылова (более подробно, однако, все же б/д); соболевские производные; формула Ито-Крылова; случайная замена времени; характеризация Леви винеровского процесса; мартингальная проблема. 

Лекция 6 (08.10.2021): СДУ с отражением, локальное время; задача Скорохода; многомерный вариант. 

Относительно плана уже не отстаем.

Лекция 7 (15.10.2021): Связь винеровского процесса с оператором Лапласа и решений общих СДУ с общими эллиптическими и параболическими операторами.

Лекция 8 (22.10.2021): Эргодические решения СДУ и уравнение Пуассона «во всем пространстве» (также уравнения ФПК).

Лекция 9 (29.10.2021): Продолжение всех тем лекции 8. 

NB: лекция 9 сильно пострадала из-за неполадок с интернетом у лектора, однако, тем не менее, через 45 минут перерыва все же продолжилась; лектор обещает перезаписать ее. (11.11.2021: перезапись существует, см. новости в начале страницы.)

NB: лекция 5 ноября была отменена согласно приказа ректора

Лекция 10 (12.11.2021): Управляемые СДУ, уравнение Беллмана, алгоритм Ховарда.

Лекция 11 (19.11.2021): Эргодическое управление «в среднем»; эргодическое уравнение Беллмана.

Лекция 12 (26.11.2021): Еще раз эллиптическое уравнение Беллмана; задача об оптимальной остановке.  

Лекция 13 (03.12.2021): Обратные СДУ Парду – Пенга (BSDEs); существование и единственность. 

Лекция 14 (10.12.2021): Обратные СДУ Парду – Пенга (BSDEs), продолжение; FBSDEs.

Лекция 15 (17.12.2021): FBSDEs, 2BSDEs (обратные уравнения Парду - Пенга второго порядка), их связь с задачей стохастического управления.

Лекция 16 (24.12.2021): повторение пройденного.