Войти
Логин:
Пароль:
Забыли пароль?
научная деятельность
структура институтаобразовательные проектыпериодические изданиясотрудники институтапресс-центрконтакты
русский | english

Осень 2009

Продолжение курса весной - в течение четырех недель 22.03.2010 - 16.04.2010

У меня нет сейчас доступа к письмам на ayv@iitp.ru. Пишите на адрес ayv53@rambler.ru      А.Ю.В.

Предварительный список докладов на весенний семестр (по книге Басса), с именами докладчиков, которые уже выбрали себе доклады:

(1) Ch. 1.5 (Markov properties, basically thm 1.5.1). - Катя

(2) Ch. 1.4 (Types of uniqueness, basically thm 1.4.2). Имейте в виду, что ваш лектор не убежден в том, что доказательство теоремы 1.4.2 корректно. Поэтому очень интересно было бы найти ошибку, хотя он (лектор) не убежден и в ее наличии. Сам результат известен при небольших дополнительных ограничениях из других источников, так что речь идет только о корректности данного доказательства.

(3) Ch. 1.9 (Stratonovich integrals).

(4) Ch. 1.10 (Flows).- Саша

(5-6) Ch. 1.11-12 (SDEs with reflection) - это два "совместных", то есть тесно связанных доклада, но на двоих.

(7) Ch. 2.6 (Neumann etc.)

(8) Ch. 2.7 (Fundamental solutions and Green"s functions).

(9) По какому-либо еще источнику: случайная замена времени (Ватанабе-Икеда "Стох. диф. уравнения и диффузионные процессы", либо Маккин "Стохастические интегралы"). - Олег

 

 

ЭКЗАМЕН 11 января 2010 в 12.00 (?), и 15 явнаря, после 15.00, кафедра

Последние комментарии к последним трем вопросам к экзамену. 

15. Функции Ляпунова и оценки моментов достижения для конкретных СДУ.

Надо сформулировать определение ф.Л. Далее, в лекциях Н.В.К. есть три примера, один из которых нам рассказывала Катя 23.11.09. (остальные два не были рассказаны, к сожалению.) Это о ф.Л., и кажется в этих лекциях даже употребляется это самое название (хотя сам Н.В.К. собственно ф.Л. и не занимался никогда). См., например, файл http://www.maths.leeds.ac.uk/Statistics/research/reports/2009/STAT09-03.pdf
и в нем, например, Лемму 1. Это пример как оценивать экспоненциальный момент достижения некоторого множества для конкретного процесса. Примерно такую выкладку я показывал на последней лекции. Что-то совершенно аналогичное есть в другом файле, http://www.maths.leeds.ac.uk/Statistics/research/reports/2009/STAT09-04.pdf
(леммы 1 и 2).

13. Стационарный режим для решения СДУ. Достаточные условия существования. Сходимость к стационарному режиму. (Лекции в 16-01; «финский файл»)

14. Коэффициент бэта-перемешивания процесса, его оценка с методом каплинга с использованием «леммы о трех случайных величинах».

Вопросы 13 и 14 примерно об одном и том же, просто немного в разных терминах.

В тех же файлах (см. выше) оцениваются еще моменты "гамма" (скажем, в последнем файле это лемма 4).

Далее, на предыдущих лекциях (вероятно, 7.12.09?) я показывал другую выкладку, о том, как оценивать "разность двух мер" по вариации, совершенно аналогично для коэф. бета-перемешивания и для расстояния по вариации, используя оценки последовательности моментов "гамма_n". Например, в первом из указанных файлов это выкладка на стр. 17, основанная на "неравенстве каплинга" и некоем разложении единицы, которая на той же стр. 17 приводит прямо к оценке коэффициента бета. 

%%%%%%%%%%%%%%%

 

ЛЕКЦИЯ И СЕМИНАР 14.12.2009 СОСТОИТСЯ (состоялись)

 

Программа с/к "Теория эргодических марковских диффузионных процессов" рассчитана на конец сентября - конец ноября. Разумеется, в полном объеме это не слишком реально, однако, это некая связная программа, часть которой мы постараемся пройти (с помощью также и с/с). Некоторые главы можно будет оставить до весеннего семестра.

Лекции: пн. 16-45 в ауд. 16-01.  Семинары: пн. 18-30 (или 18:40) ПОКА ТОЖЕ В ауд. 16-01. Все еще возможно, что придется их перенести в ауд.182 Лаб. корпус А. (Проверьте, что Вы записаны в список.)

02.11.2009: похоже, что аудиторию нам оставили для семинара, хотя официально это не подтверждено. 

Тема первой (и второй) лекции - винеровский процесс: построение и некоторые свойства. Третьей и 4й - стохастический интеграл и первые понятия о стохастических дифференциальных уравнениях (СДУ). Необходимый вспомогательный материал (отчасти на семинарах) - мартингалы и семимартингалы, простейшие неравенства для них (Колмогорова и Дуба). 5й - формула Ито и некоторые теоремы о сильной единственности для СДУ, 6й (26 октября) - способы построения слабых решений и теорема Гирсанова, 7й (2 ноября) - продолжение рассказа о слабых решениях и теорема Бенеша о применимости теоремы Гирсанова для линейно растущего сноса (при постоянной невырожденной матрице диффузии), 8й (9 ноября) - обобщение теоремы Бенеша [не было обобщения], еще о слабых решениях методом Скорохода и Крылова, оценки моментов решений СДУ, зависимость решений от параметров и начальных значений, 9й (16 ноября) - марковское свойство и связь с решениями параболических дифференциальных уравнений второго порядка, а также всякие мелкие дополнения, 10й (23 ноября) - другой способ вывода марковского свойства и начало темы "стационарные марковские процессы и перемешивание".

30 ноября ПЕРЕРЫВ.

7  декабря - коэффициенты перемешивания, функции Ляпунова и применение леммы о трех случайных величинах. 14 декабря (последняя лекция в семестре) - продолжение темы оценки коэффициентов перемешивания.

План на весенний семестр (только 4 недели в марте - апреле): неравенства Харнака и их применение к сходимости к стационарному режиму, и далее, к уравнениям Пуассона. Понадобится статья Крылова и Сафонова (см. ниже) и книга Басса (R.Bass - доступна на сайте колхоза).

 

В четверг 19.11.2009 в Стекловке состоялся доклад С.В.Ануловой о неравенствах Харнака (3:30 - 5:00pm). ОБЕЩАНО ПРОДОЛЖЕНИЕ, но не в следующий четверг. Я рекомендую пойти, если будет возможность. Части доклада хотя и будут как-то связаны, но заведомо допускают прослушивание отдельных частей. (А сколько будет частей, пока даже и неясно.)

Следите за сайтом семинара: http://www.mi.ras.ru/index.php?c=seminars&m=2#11

Напоминаю мой электронный адрес: ayv@iitp.ru

А.Ю.В. 

 

Информация  220909; 230909

01.10.2009: по поводу леммы 1 в тексте Н.В.Крылова (С.В.Анулова и др., Стохастическое исчисление. ВИНИТИ 1989, Вероятность - 3). Должно быть, $alpha > 1/p$, и в английской версии это исправлено.


Краткий конспект

Л1-2

Л3-4

Л5: формула Ито и сильные решения. 

О регулярных условных вероятностях см. книгу Parthasarathy,  Probability measures on metric space.

Л6

 

Список прошлых и будущих докладов на семинаре:  список

(Если я что-то забыл, НАПОМНИТЕ, пожалуйста!)  

  

Темы к полугодовому экзамену: список тем

Черновой файл статьи Звонкин-Крылов 1975: (файл со склеенными страницами не грузится, берите каждую стр. отдельно!)

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 25 26 li1 li2 front_page                                                                                            

(некоторых страниц пока не хватает, но в них материал, который нам сейчас не нужен; надеюсь через некоторое время все-таки добавить их)

 

 

Крылов-Сафонов-79 (скоро пригодится)

(1 2 3)

total file

 

31.10.2009: Теперь у нас есть отсканированные лекции Н.В.Крылова, спасибо Борису Агафонцеву и его другу за бескорыстную помощь науке:

Том1  Том2                 

Также есть его же лекции по эллиптическим уравнениям: пока они не использовались в курсе, но потенциально могут пригодиться, рано или поздно:

Эллиптические уравнения 

19.11.2009. Новое поступление: Крылов Н.В., Управляемые (процессы диффузионного типа).  (по-английски - пока у нас нету русского файла) Должен попросить всех НЕ распространять этот файл в Интернете (это относится и к предыдущим материалам тоже!). Иначе у меня могут возникнуть неприятности понятного характера. Из этой книги нам нужна (и то частично) ТОЛЬКО ВТОРАЯ ГЛАВА (не первая!).

То же по-русски: Управляемые-ру!

Лекции по МП

Некоторые темы для исследования (для курсовых, дипломных, и т.д.): список09

Лепелтье для СА:

L76

 

Весна 2010

 

03.04.2010: предложение 5.7.2 доложено. пройдена теорема 5.7.5 и начата теорема 5.7. РАЗБИРАЙТЕ ДОКЛАДЫ, пожалуйста, а то у нас не будет докладов на ближайших семинарах. Появились новые файлы книг Крылова и Гихмана-Скорохода - см. внизу странички.

01.04.2010: кроме шуток. Мы "прошли" теорему 5.7.4, и завтра (пт. 02.04.2010) будем осваивать 5.7.5 и 5.7.6. Последняя и есть Харнак Крылова-Сафонова. Кроме того, предложение 5.7.2, - которое мы пока просто "поняли" на уровне идеи (теоремы о точках плотности Лебега), -  нам доложит на семинаре Аня.

 

КАФЕДРА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
с/к и с/с "Теория эргодических марковских диффузионных процессов", семестр 2

Основная тема весеннего семестра: локальное перемешивание и теорема
Крылова-Сафонова о неравенстве Харнака, и уравнения Пуассона "во всем
пространстве". Основная литератора - статьи К. и С. и книга Р.Басса
(Richard Bass, Diffusions and elliptic operators, Springer, New York et
al, 1997), статьи лектора и Э.Парду (E.Pardoux).

Не уверен, что успеем Пуассона (01.04.2010).

Пн. 16:45 (16.01 - с/к) и 18:30 (12.13 - с/с)

Пт. 16:45 (с/к) и 18:30 (с/с) (ауд. 436 во 2-ом Гуманитарном корпусе) (или 463 напротив)

Интенсивные занятия будут происходить два раза в неделю в течение
четырех недель в марте-апреле 2010 г.

Начало 22 марта в 16:45  (16.01).

Приглашаются студенты старших курсов, интересующиеся теорией
стохастических дифференциальных уравнений и ее связями с уравнениями в
частных производных. На семинаре предполагаются доклады участников по 1й
и 2й главам вышеупомянутой книги Басса. Примерный список докладов см.
ниже; часть тем уже разобраны, что отмечено значком #. Основная
теоретическая часть будет основана на главе 5 и отчасти на статьях.
Теорему 5.7.2, не имеющую прямого отношения ни к теории вероятностей, ни
к УРЧП, настоятельный совет прочесть перед началом занятий 22.03.2010.
Книгу разумно найти заранее в библиотеке мехмата. Препринты необходимых
статей будут предоставлены. (Пока что см. страничку прошлого семестра.)

Хотя с/к является естественным продолжением осеннего семестра,
предполагается, что часть материала будет повторена уже с несколько
других позиций, а другая часть вообще, в принципе, потребует лишь
владения основными понятиями теории марковских процессов. Иными словами,
материал будет сделан по возможности максимально независящим от
материала прошедшего семестра. В связи с этим, приглашаются
действительно все желающие. С другой стороны, конечно, участие в осеннем
семестре, даже частичное, можно рассматривать как серьезную подготовку,
которая облегчит восприятие.

Перемешивание является конкретизацией свойства "слабой зависимости",
приспособленного к применению в проверке основных теорем теории
вероятностей - ЗБЧ и ЦПТ, которые, собственно, послужили основной
мотивацией для создания самого класса марковских процессов в конце 19
века. Это свойство исключительно важно и в УРЧП, в связи с теорией
уравнений Пуассона, - второй основной темы с/к, - и теорией
гоможенизации (последняя, однако, непосредственно затронута не будет).
Теорема Крылова-Сафонова является одной из "точек роста" эллиптических и
параболических УРЧП и теории диффузионных процессов. Не проходите
мимо...

Темы для докладов на семинаре (по книге Басса): знаком диеза отмечены
уже выбранные доклады

(1) Ch. 1.5 (Markov properties, basically thm 1.5.1). - #
(2) Ch. 1.4 (Types of uniqueness, basically thm 1.4.2).
(3) Ch. 1.9 (Stratonovich integrals).
(4) Ch. 1.10 (Flows).- #
(5-6) Ch. 1.11-12 (SDEs with reflection) - это два тесно связанных
доклада на двоих.
(7) Ch. 2.6 (Neumann etc.)
(8) Ch. 2.7 (Fundamental solutions and Green"s functions).
(9) По какому-либо еще источнику: случайная замена времени
(Ватанабе-Икеда "Стох. диф. уравнения и диффузионные процессы", либо
Маккин "Стохастические интегралы"). - #

Большинство докладов следует рассчитывать на час, хотя некоторые могут
занять и полчаса (№№1,2).

Для получения зачета по с/с необходимо сделать хотя бы один доклад.
Желающие выбрать еще свободную тему, пишите лектору на ayv53@rambler.ru.
Возможно, что какая-то тема уже выбрана, однако, лектор этого не знает
(нпр., если заявка послана по другому московскому адресу). В этом случае
тоже напишите.

Помимо всего вышеперечисленного, будут предложены некоторые важные
нерешенные задачи/проблемы, связанные с диффузионными процессами и не
только с ними.

АЮВ 

 

Статью Крылова и Сафонова можно взять на страничке прошлого семестра. Может быть полезно.

 

Существует полностью дифурное доказательство в книге Крылова 1985 г.

А это книга полезная сама по себе по СДУ: Гихман-Скороход 1982 г.

 

 

Осень 2010

 

Лекции 22 сентября все-таки не будет. В середине декабря 2010 я приеду и надеюсь провести еще несколько занятий. Точная программа для сдачи возможного экзамена (пока полгода) см. ниже (это только для студентов: для аспирантов будет добавочный материал, в основном, из книги Крылов, Управляемые процессы... ). А.Ю.В., 22.09.2010

Точная программа осеннего семестра (=программа к экзамену). Крылов, Лекции... т. 1-2. Том 1: параграфы 1-6, 9-13; том 2: параграфы 6-14; Крылов, Управляемые процессы... гл. 2, параграф 3, знать оценки из теоремы 4, формулировку леммы Скорохода (леммы 2 и 3 из гл. 2, параграфа 6) и формулировку теоремы о существовании решения (теорема 1, параграф 6, гл.2). Лемму Скорохода можно также брать из учебника Булинский, Ширяев, или из Икеда, Ватанабе.

Внимание слушателям с-к Стохастические дифференциальные уравнения:

Первая лекция состоится в пятницу 3 сентября, а последняя - 20 сентября. Это кажется несколько маловато, и я бы хотел провести дополнительное занятие в среду 22 сентября, если, конечно, слушатели согласны. Перед сдачей зачета или экзамена за полгода в середине декабря предполагается устроить одно или несколько дополнительных занятий. Все остальное время отводится для самостоятельной работы (минимальная связь по электронной почте возможна). О втором семестре и годовом экзамене или зачете поговорим на занятиях.

Аудитории и время: пн 4.45 - 8.05 ауд. 16-01 в 16.45, 12-13 в 18.30; пт.  4.45 - 8.05 ауд. 434 во 2-ом гуманитарном.

 

 

 

 

План спецкурса на осенний семестр

 

1. Винеровский процесс: построение и некоторые свойства.

2. Стохастический интеграл и первые понятия о стохастических дифференциальных уравнениях (СДУ). Необходимый вспомогательный материал (отчасти на семинарах) - мартингалы и семимартингалы, простейшие неравенства для них (Колмогорова и Дуба).

3. Формула Ито и некоторые теоремы о сильной единственности для СДУ.

4. Способы построения слабых решений и теорема Гирсанова

5. Оценки моментов решений СДУ, зависимость решений от параметров и начальных значений, марковское свойство.

6. Связь с решениями параболических дифференциальных уравнений второго порядка.

7. Начало темы "стационарные марковские процессы и перемешивание". (Это мы не успели начать, и к экзамену в декабре не готовить.)

Учебники

Н.В.Крылов, Введение в теорию случайных процессов. (lib.mexmat.ru)

Для участия в спецсеминаре необходимо приготовить доклад на одну из заданных тем, в основном, по материалам того же учебника.

В сентябре 2010 доклады сделали:

Токмаков Петр - о лемме Скорохода

Дао Нгок - пример №3 из параграфа 11 т.2 Лекций

Жданкин Иван - об условных математических ожиданиях

Эльмира Калимулина -  пример №1 из параграфа 11 т.2 Лекций

Шапошников Александр - о построении винеровского процесса (по Лекциям)

 

13 декабря: я в Москве. Желающие со мной встретиться могут меня найти после кафедрального семинара в ближайшую среду на кафедре.

Для экзамена будут в ближайшее время предложено небольшое количество дополнительных вопросов и, вероятно, несколько файлов и линков. См. ниже.

1. Формула_Ито_два_доказательства по английскому варианту лекций Крылова

2. Лекции (бимер-файлы по английски, см. в разделе "material" JV.pdf & sdes0.pdf-sdes9.pdf): http://maths.dept.shef.ac.uk/magic/course.php?id=165

В частности, по JV.pdf предлагается дополнительный материал по построению винеровского процесса.

 

Весна 2011

Программа с/к (с/с)  (апрель 2011)

1. План спецкурса 

Учебники: [К] Н.В.Крылов, Введение в теорию случайных процессов, М., МГУ, 1986-1987 (возможно, частично будет использован английский вариант книги); [С] А.В.Скороход,Случайные процессы с независимыми приращениями, М, Наука, 1964; [ГС] И.И.Гихман и А.В.Скороход, Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения, Киев, Наукова Думка, 1982. Возможны дополнительные главы из других учебников.

 А – процессы Леви ([K], при необходимости [С]) 

1.1.          Интегрирование по случайной ортогональной мере

1.2.          Строго марковское свойство винеровского процесса и процесс $tau(t)$

1.3.          Безгранично делимые процессы: процессы с независимыми  приращениями

1.4.          Теорема о представлении Леви – Хинчина

1.5.          Представление безгранично делимых процессов через меры скачков

1.6.          Построение безгранично делимых процессов 

Б – СДУ со скачками ([ГС]) 

2.1. Стохастический интеграл по скачкообразной мере

2.2. Стохастические дифференциальные уравнения со скачками: существование решения, единственность, марковское свойство

2.3. Их эргодические свойства (по статьям Масуды, Кулика и др.) 

 

2.       Темы спецсеминара – процессы Леви и их эргодические свойства. Более подробно темы будут определены к первому занятию 04.04.2011.  

Спецкурс: понедельник, 16.45, ауд. 16-03; пятница, 16.45, ауд. 438

Спецсеминар: понедельник, 18.30, ауд. 12-13; пятница, 18.30, ауд. 438 

 

Некоторые ссылки

Гихман-Скороход - см. весна 2010 Гихман-Скороход 1982 г.

Крылов (том 1-2) - см. осень 2009 Том1  Том2

Крылов (Eng.):  & Крылов_пределы мартингалов & Крылов_ф.Гирсанова

Скороход - Независимые (гл.2,3 - документ "Djvu PostScript")

Эпплбаум - Процессы Леви (гл.6)

Кулик

Фундун-1

Фундун-2 

04/04:  1.2-1.4 (обзор)

08/04: 1.1, 1.5

11/04: 1.4

15/04: 1.5, 1.6, начало ГС - о представлении процессов с независимыми приращениями 

18/04: последняя теорема из лекций Крылова; ГС - теоремы единственности и существования для СДУ со скачками и формула Ито

22/04: ГС - формула Ито и теоремы единственности и существования для СДУ со скачками

25/04: построение функций Ляпунова по Масуда-1 (статья 2007г.)

29/04: (либо доказательство формулы Ито, либо конспект статьи Фундуна-2) //первое

 

Осень 2011

 

Кафедра Теории вероятностей

 

Теория эргодических марковских диффузионных процессов, с/к (3-5курс)

Профессор А.Ю.Веретенников

Сентябрь 2011, начало 02.09.2011

(желающие, пожалуйста, не опаздывайте, до 23 сентября всё на этот семестр закончится)

Пн 16.45-20.05 ауд 16-03 (первая пара) и 12-13 (вторая). Возможно, удастся остаться в 16-03.

Пт 16.45-20.05 ауд 438 (2 Гум).

 

 

Основные темы (возможны некоторые изменения):

 

1. Винеровский процесс.

2. Стохастический интеграл Ито, свойства.

3. Мартингальные неравенства для стохастического интеграла Ито.

4. Стохастические дифференциальные уравнения (СДУ). Слабые и сильные решения.

5. Экспоненты Гирсанова и теорема Гирсанова.

6. Связь СДУ с уравнениями в частных производных.

7. Введение в теорию процессов Леви.

8. Исследование гладкости распределения решения СДУ: теория Маллявэна-Бисмюта и другие.

 

Эргодические свойства будут изучены на семинаре и, возможно, весной 2012.

 

Литература: курсы лекций по случайным процессам А.Д.Вентцеля, Н.В.Крылова и др. Также будет использована журнальная литература.

 

С/с: избранные главы лекций, учебников и монографий Крылова, Басса, Эпплбаума и др., статьи.

 

 

Начало лекций и семинаров 2 сентября (пт.) в 16:45,

аудитории 16-03 и 12-13 пн, Гум2-438 пт.

 

 

В середине декабря возможно продолжение вплоть до Нового года.

В весеннем семестре возможно продолжение, посвященное процессам Леви и теории «обратных СДУ» Парду-Пенга.

 

Возможные темы для курсовых и дипломных работ касаются оценок скорости перемешивания и скорости сходимости для различных классов случайных процессов, включающих СДУ, «телефонные системы», и др. С вопросами относительно таких тем можно обращаться по эл. адресу ayv@iitp.ru А.Ю.В.

 

Н.В.Крылов (англ), гл 2 и 5

 

Пройдено:

02.09 - винеровский процесс.

05.09 - вариант стохастического интеграла по винеровскому процессу, условные математические ожидания.

09.09 - другой вариант стохастического интеграла по случайной ортогональной мере, в частности, по винеровскому процессу. начало процессов Леви.

12.09 - начало семимартингальных неравенств. продолжение процессов Леви. введение в стохастические дифференциальные уравнения.

16.09 - семимартингальные неравенства (Дуба, Колмогорова-Дуба), приложение к непрерывности стохастического интеграла Ито по верхнему пределу.

19.09 -

23.09 - СДУ, теорема Ито, марковское свойство решения// с-с: Петр - о дробных производных по главе книги Колокольцова.

 

Весна 2012

 

19.03 & 23.03.2012: Формула Гирсанова и исчисление Маллявэна, вариант Бисмю.

 Линк: http://www.mathnet.ru/links/4b25bfabdd519a0f551200cead5eb675/rm2863.pdf

 

 

Осень 2012

С/к Теория эргодических марковских диффузионных процессов” и с/с “Проблемы теории марковских процессов” для 2-5к. и аспирантов в осеннем семестре 2012 г. будут работать с пятницы 07.09.2012 по пятницу 22.09.2012. Дополнительные занятия состоятся в декабре 2012г, о чем будет дополнительно объявлено. В октябре и ноябре занятий не будет.

Предварительная программа для сдачи возможного экзамена для студентов (пока полгода, но с/к будет годовой) см. ниже (для аспирантов будет добавочный материал, в основном, из книги Крылов, Управляемые процессы... ).

Предварительная программа осеннего семестра. Крылов, Лекции по теории случайных процессов, т. 1-2. Том 1: параграфы 1-6, 9-13; том 2: параграфы 6-14; Крылов, Управляемые процессы... гл. 2, параграф 3, оценки из теоремы 4, формулировка леммы Скорохода (леммы 2 и 3 из гл. 2, параграфа 6) и формулировка теоремы о существовании решения (теорема 1, параграф 6, гл.2). Лемму Скорохода можно также брать из учебника Булинский, Ширяев, или из Икеда, Ватанабе.

 

Аудитории и время:

пн 4.45 - 8.05 предварительно ауд. 434 во 2-ом гуманитарном;

пт. 4.45 - 8.05 предварительно ауд. 434 во 2-ом гуманитарном.

Уточнять эти данные можно по эл. адресу ayv53@rambler.ru

 

Примерный план спецкурса на осенний семестр

1. Винеровский процесс: построение и некоторые свойства.

2. Стохастический интеграл и первые понятия о стохастических дифференциальных уравнениях (СДУ). Необходимый вспомогательный материал (отчасти на семинарах) - мартингалы и семимартингалы, простейшие неравенства для них (Колмогорова и Дуба).

3. Формула Ито и некоторые теоремы о сильной единственности для СДУ.

4. Способы построения слабых решений и теорема Гирсанова

5. Оценки моментов решений СДУ, зависимость решений от параметров и начальных значений, марковское свойство.

6. Связь с решениями параболических дифференциальных уравнений второго порядка.

Учебники Н.В.Крылов, Введение в теорию случайных процессов. (lib.mexmat.ru)

Для участия в спецсеминаре необходимо приготовить доклад на одну из заданных тем, в основном, по материалам того же учебника или рекомендованных статей.

декабрь 2012 - январь 2013

Володя и Юля подготовили доклады и сдали первую половину курса (05.01.2013).

Продолжение во второй половине марта и до конца апреля. Возможные темы (может быть, одна, а может и обе):

Обратные стохастические уравнения (Парду-Пенг);

Уравнения Маккина-Власова.

 

Не было ни того, ни другого, а была теория сильных решений, Ямада-Ватанабе и обзор (слабых) решений в бесконечномерных пространствах (в связи с математическими задачами популяционной генетики) по работам Шига, плюс разные технические детали типа регулярных вероятностей.

Участники (с различной посещаемостью): Владимир Федянин, Юлия Гусак (сдала экзамен), Степан Музычка, Оксана Манита, Петр Токмаков, Яна Белопольская (д.ф.-м.н., проф.).

 

Сентябрь 2013

Начало курса эргодических марковских процессов (СДУ) для 3-5к:

Винеровский процесс (ВП), стохастический интеграл (СИ) и так далее. Учебник: Н.А.Крылов. Введение в теорию...

Предполагаемое окончание: решение СДУ - марковский процесс (при липшицевых коэффициентах).

NB: вообще-то он марковский при существенно меньших ограничениях, но это за пределами курса.

Более полный список:

1. Винеровский процесс.

2. Стохастический интеграл Ито, свойства.

3. Мартингальные неравенства для стохастического интеграла Ито.

4. Стохастические дифференциальные уравнения (СДУ). Слабые и сильные решения.

5. Экспоненты Гирсанова и теорема Гирсанова.

6. Связь СДУ с уравнениями в частных производных.

7. Марковское свойство решений СДУ.

 

Официально выделены аудитории: пн. 16-03; пт ГУМ-2, 438

(обратите внимание, в пятницу не в ГЗ! сегодня 13.09.2013 я буду некоторое время на кафедре перед 16:45, а потом пойду в ГУМ-2)

 

Участники:

1. Тимур Ястржембский (5к) - сделал доклад о теореме о непрерывности.

2. Анна Степанова (4к) - готовит доклад о марковском свойстве ВП.

3. Галя (= Галина Александровна)

4. Азат Мифтахов (4к)

5. Александр Калинин (3к)

6.  Арутюнян (5к)

7.  И.С.Ярославцев (5к)

8.  Е.Д.Косов (5к)

9.  А.В.Антропов (5к)

10.  Е.С.Кожина (4к)

 

Темы докладов

1. Теорема о непрерывности. (Тимур - сделано)

2. Марковское и строго марковское свойства ВП. (Аня - сделано)

3. О совпадении двух мер. (готовит Галя)

4. Теорема о компакте (Т.1.4.6, вместе с предыдущей леммой). (Егор - сделано)

Компактность и условия Ченцова в пространстве Скорохода, обзор:

5. (а) по книге Биллингсли, Сходимость вероятностных мер; (Иван - сделано. но можно еще рассказывать следующую главу (а),  а также (б))

6. (б) по статье Н.Н.Ченцова. (ТВиП 1956, Н.Н.Ченцов 1956).

7. Семимартингальные неравенства и предельные теоремы, включая теорему Леви. (готовит Лена)

8. Пи- и лямбда-системы (по Дынкину, Марковские процессы, или Крылов, Управляемые процессы... Дополнение). 

9. Обзор другого построения СИ - через случайные ортогональные меры.

10. Pseudopredictable functions (по Krylov, Introduction to the Theory of Diffusion Processes 3.5) (скан будет выложен).

11. Regularly measurable processes (по Krylov, Introduction to the Theory of Diffusion Processes 3.11) (скан будет выложен).

12. Обзор по условным математическим ожиданиям и предельным теоремам для них (включая Йенсена - Jensen, читается in English: Дженсен) (Лаврентий - сделано, правда, без доказательств, на которые все же хотелось бы посмотреть)

13. Все же доказательства трех основных предельных теорем для УМО.

14. Примеры применения формулы Ито (по учебнику, есть соответствующий параграф с таким названием).

15. Кв вариация ВП - Александр Калинин - сделано.

 

Уже пройденные темы с/к:

Вкратце ВП; СИ; мартингалы, марковские моменты;

Мартингальные неравенства; СИ как мартингал; определение СИ как непрерывной функции верхнего предела.

СИ до м.м.; СИ конечные п.н. Формула Ито.

СДУ, теорема Ито о (сильном) существовании и (сильной) единственности.

 

Следующие темы:

 

(Теорема Гирсанова - это в сентябре не успеваем.)

Марковское свойство решений СДУ.

(Связь с уравнениями в частных производных - и это не успеваем, хотя какой-то маленький все же пример будет рассмотрен.)

Очевидно, весенние занятия должны будут начаться с небольшого повторения и дальнейшего развития пройденных тем, уже после которого/которых будет одна их новых больших тем.

 

 

  © Федеральное государственное бюджетное учреждение науки
Институт проблем передачи информации им. А.А. Харкевича Российской академии наук, 2016
Об институте  |  Контакты  |  Старая версия сайта