Введение в аналитическую теорию дифференциальных уравнений

(13.09.10) Лекция 1

Многомерная теорема Вейерштрасса (см. [1], 2-й том). Аналитическая теорема существования и единственности решений дифференциального уравнения [3].

Задачи:  http://www.iitp.ru/upload/userpage/129/zadachy.pdf.

(20.09.10) Лекция 2 

Линейные дифференциальные уравнения: особые точки, монодромия. Локальное представление фундаментальной матрицы (разложение Левеля).  (см. [4], лекция 4).

Задачи: http://www.iitp.ru/upload/userpage/129/zadachylinur.pdf.

(27.09.10) Лекция 3 

 Теоремы Фукса.

1) Фуксова особая точка линейной системы является регулярной (см. [4], теор. 4.1).

2) Особая точка линейного дифференциального уравнения фуксова тогда и только тогда, когда она регулярна (см. [4], теор. 4.2).

(4.10.10)  Лекция 4 

1) Мажорантные Функции (см. [5] гл. 1, пар. 2) .

2) Теорема существования и единственности решений аналитического дифференциального уравнения (набросок доказательства методом мажорант) (см. [5] гл. 1, пар. 3).

3) Теорема о неявной функции (см. [5] гл. 1, пар. 9, лемма 1) .

Задачи:  http://www.iitp.ru/upload/userpage/129/zadachymajoranty.pdf.

(11.10.10)  Лекция 5

1)  Задача 2 из листка прошлой лекции (см. [5] гл. 1, пар. 9, лемма 2 и немного после нее) .

2)  Вид решения алгебраической функции (см. [5] гл. 2, пар. 1).

3)  Условия Фукса отсутствия подвижных критических особенностей у решений уравнений вида P(w',w,z)=0 (см. [5] гл. 2, пар. 2).

Задачи: http://www.iitp.ru/upload/userpage/129/zadachyalg.pdf.

(18.10.10)  Лекция 6

1) Уравнение Риккати (см. [5] гл. 1, пар. 11) .

2) Римановы поверхности алгебраических функций (см. [5] гл. 2, пар. 4). 

(25.10.10)  Лекция 7 

1) Формула для рода римановой поверхности алгебраической функции (см. [5] гл. 2, пар. 5).

2) Сведение уравнений вида P(w',w,z)=0 рода 0 к уравнению Риккати (см. [5] гл. 2, пар. 6 и 7, только для рода 0).

3) Схема метода изомонодромных деформаций. Алгебраические решения уравнения Шлезингера. (Все без доказательств. [4])

Задачи: http://www.iitp.ru/upload/userpage/129/zadachyprim.pdf.

(1.11.10)  Лекция 8

Было рассказано о некоторых приложениях теории линейных систем дифференциальных уравнений в комплексной области.

Задачи: http://www.iitp.ru/upload/userpage/129/zadachynorm1.pdf.

(8.11.10)  Лекция 9

1) Формальные нормальные формы нелинейных систем. Теоремы Пуанкаре и Пуанкаре-Дюлака (см. [2],[3]).

(15.11.10)  Лекция 10

1) Теорема Пуанкаре о сходимости формальной замены в нерезонансном случае (см. [3]).

(22.11.10) Лекция 11 (ПОСЛЕДНЯЯ)

1) Особые точки вещественно-аналитических слоений.

2) Вещественно-аналитические слоения на плоскости.

Задачи экзамена: http://www.iitp.ru/upload/userpage/129/zadachiexam.pdf. Экзамен домашний. Срок сдачи до 29 ноября.

Литература 

(книги из списка литературы можно найти, например, на сайте http://gen.lib.rus.ec/, по автору или названию)

[1] Б.В. Шабат, Введение в комплексный анализ.

[2] В.И. Арнольд, Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Наука, 1978. 

[3] Y.S. Ilyashenko, S. Yakovenko, Lectures on analytic differential equations, Graduate Studies in Mathematics, vol. 86, AMS, 2007.

[4] А.А. Болибрух, Фуксовы дифференциальные уравнения и голоморфные расслоения, МЦНМО, 2001 (или дополненное издание "Обратные задачи монодромии в аналитической теории дифференциальных уравнений" МЦНМО, 2009)

[5] В.В. Голубев, Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. Гостехтеоретиздат, 1950.