Введение в аналитическую теорию дифференциальных уравнений (13.09.10) Лекция 1 Многомерная теорема Вейерштрасса (см. [1], 2-й том). Аналитическая теорема существования и единственности решений дифференциального уравнения [3]. Задачи: http://www.iitp.ru/upload/userpage/129/zadachy.pdf. (20.09.10) Лекция 2 Линейные дифференциальные уравнения: особые точки, монодромия. Локальное представление фундаментальной матрицы (разложение Левеля). (см. [4], лекция 4). Задачи: http://www.iitp.ru/upload/userpage/129/zadachylinur.pdf. (27.09.10) Лекция 3 Теоремы Фукса. 1) Фуксова особая точка линейной системы является регулярной (см. [4], теор. 4.1). 2) Особая точка линейного дифференциального уравнения фуксова тогда и только тогда, когда она регулярна (см. [4], теор. 4.2). (4.10.10) Лекция 4 1) Мажорантные Функции (см. [5] гл. 1, пар. 2) . 2) Теорема существования и единственности решений аналитического дифференциального уравнения (набросок доказательства методом мажорант) (см. [5] гл. 1, пар. 3). 3) Теорема о неявной функции (см. [5] гл. 1, пар. 9, лемма 1) . Задачи: http://www.iitp.ru/upload/userpage/129/zadachymajoranty.pdf. (11.10.10) Лекция 5 1) Задача 2 из листка прошлой лекции (см. [5] гл. 1, пар. 9, лемма 2 и немного после нее) . 2) Вид решения алгебраической функции (см. [5] гл. 2, пар. 1). 3) Условия Фукса отсутствия подвижных критических особенностей у решений уравнений вида P(w',w,z)=0 (см. [5] гл. 2, пар. 2). Задачи: http://www.iitp.ru/upload/userpage/129/zadachyalg.pdf. (18.10.10) Лекция 6 1) Уравнение Риккати (см. [5] гл. 1, пар. 11) . 2) Римановы поверхности алгебраических функций (см. [5] гл. 2, пар. 4). (25.10.10) Лекция 7 1) Формула для рода римановой поверхности алгебраической функции (см. [5] гл. 2, пар. 5). 2) Сведение уравнений вида P(w',w,z)=0 рода 0 к уравнению Риккати (см. [5] гл. 2, пар. 6 и 7, только для рода 0). 3) Схема метода изомонодромных деформаций. Алгебраические решения уравнения Шлезингера. (Все без доказательств. [4]) Задачи: http://www.iitp.ru/upload/userpage/129/zadachyprim.pdf. (1.11.10) Лекция 8 Было рассказано о некоторых приложениях теории линейных систем дифференциальных уравнений в комплексной области. Задачи: http://www.iitp.ru/upload/userpage/129/zadachynorm1.pdf. (8.11.10) Лекция 9 1) Формальные нормальные формы нелинейных систем. Теоремы Пуанкаре и Пуанкаре-Дюлака (см. [2],[3]). (15.11.10) Лекция 10 1) Теорема Пуанкаре о сходимости формальной замены в нерезонансном случае (см. [3]). (22.11.10) Лекция 11 (ПОСЛЕДНЯЯ) 1) Особые точки вещественно-аналитических слоений. 2) Вещественно-аналитические слоения на плоскости. Задачи экзамена: http://www.iitp.ru/upload/userpage/129/zadachiexam.pdf. Экзамен домашний. Срок сдачи до 29 ноября. Литература (книги из списка литературы можно найти, например, на сайте http://gen.lib.rus.ec/, по автору или названию) [1] Б.В. Шабат, Введение в комплексный анализ. [2] В.И. Арнольд, Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Наука, 1978. [3] Y.S. Ilyashenko, S. Yakovenko, Lectures on analytic differential equations, Graduate Studies in Mathematics, vol. 86, AMS, 2007. [4] А.А. Болибрух, Фуксовы дифференциальные уравнения и голоморфные расслоения, МЦНМО, 2001 (или дополненное издание "Обратные задачи монодромии в аналитической теории дифференциальных уравнений" МЦНМО, 2009) [5] В.В. Голубев, Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. Гостехтеоретиздат, 1950.
|