Теория случайных процессов (ТСП 2026), заметки по курсу лекций для 3к второго потока ММФ МГУ. Вторник 2я пара, 14-08. Моя почта: alexander.veretennikov@math.msu.ru

Здесь будут периодически выкладываться некоторые материалы по данному курсу; точнее выкладываться они будут, скорее, на облаке, а тут будут линки. Вот первый из них: https://disk.yandex.ru/d/Ka01r-T1_oaOHw. Естественно, к конспекту будут постепенно добавляться новые лекции. 

18.02.2026 Неделю назад 10.02.26 "прочитана" первая вводная глава конспекта. 

18.02.2026 Вчера 17.02.26 на второй лекции "прочитана" глава об одномерных случайных блужданиях. В частности, доказана нуль-возвратность. На следующей лекции начнем пуассоновский процесс и, возможно, закончим. 

02.03.2026 (до лекции) На третьей лекции 24.02.26 "прошли" пуассоновский процесс. Немного не закончили, завтра 03.03.26 продолжим, и затем плавно перейдем к процессу восстановления. 

06.03.2026 На 4й лекции 03.03.26  изучали процесс восстановления. Следующая тема будет - процессы рождения и гибели, а также простейшие примеры моделей ТМО (теории массового обслуживания). 

11.03.2026 На 5й лекции 10.03.26  изучали процессы рождения и гибели в дискретном времени. Дошли до непрерывного времени и пока не начали его. ТМО тоже еще не было. 

18.03.2026 На 6й лекции 17.03.26  закончили процессы рождения и гибели в дискретном и (кратко, как в конспекте) непрерывном времени вместе с некоторыми моделями ТМО; эти модели также оказались примерами процессов рождения и гибели (в непрерывном времени), во всяком случае, при экспоненциальном обслуживании. Начали главу "мартингалы" и дошли в ней до неравенства Дуба, которое было лишь сформулировано.  

31.03.2026 На 7й лекции 24.03.26 неравенство Дуба доказано; затем прошли стационарные в узком смысле, доказали эргодическую теорему. Сегодня, 31.03.2026, на 8й лекции начали стационарные в широком смысле, дошли до теоремы Герглотца, не доказывали ее пока; в примере "Авторегрессия порядка q" был выписан ответ, но выкладка, касающаяся простой AR(1) дописана в конспект уже после лекции (и на лекции на доске ее не было). Кстати, о доске: проектором я пользуюсь попеременно с доской, но это когда проектор работает. Сегодня он работать отказался, и так случается хоть и не каждый раз, но часто. 

13.04.2026 На 9й лекции 07.04.26 рассказано построение стохастического интеграла (СИ) по ортогональной стохастической мере, установлена теорема о представлении стационарной последовательности через такой СИ и доказана эргодическая теорема для стационарных в широком смысле процесса. Завтра 14.04.26 начнем тему цепи Маркова. 

27.04.2026 На 10й лекции 14.04.26 начали цепи Маркова. Прошли по конспекту до строго марковского свойства. Эргодическая теорема Маркова (при всех положительных переходных вероятностях; было указано, что легко обобщить) для ЦМ доказана, ЗБЧ был сформулирован. 

Затем на 11й лекции 21.04.26 ЗБЧ был доказан, затем пройдено строго марковское свойство. Показано на доске что такое метод каплинга для ЦМ, только лемму "о двух с.в." доказать не удалось, будет сделано на следующей лекции. В плане на следующую лекцию - уравнение Пуассона "во всем пространстве" с центрированной правой частью. Про уравнение П. с граничными условиями и без центрирования тоже будет, видимо, несколько позже. Всего остается 4 лекции. 

29.04.2026 На 11й лекции 28.04.26 изучали основы метода каплинга ("лемму о двух с.в.") и его приложение к оценке скорости сходимости к стационарному распределению. Затем "прошли" уравнение Пуассона "во всем (конечном) фазовом пространстве" (без граничных условий), и начали уравнение Пуассона с границей и граничными условиями условиями Дирихле: подробно это будет сделано на следующей лекции вместе с принципом максимума. Остается всего три лекции, т.к. 26.05.26 - уже начало зачетов. Скоро начнем винеровский процесс и стохастический интеграл от случайных функций.

05.05.2026 На 12й лекции сегодня закончили тему МП и дискретные уравнения Пуассона. Начата тема Винеровский процесс и стохастический интеграл Ито.  

16.05.2026 На 13й лекции 12.05.26 доказана теорема Ито о единственности решения СДУ; теорема Ито о существованиитолько сформулирована и оставлена на следующее, последнее занятие. На нем 19.05.26 будет также показан еще один способ введения винеровского процесса (из раздела 9.3 конспекта лекций). А также надеюсь успеть рассказать теорему Колмогорова о непрерывной модификации. Это будет окончание курса. 

Если кто-то из студентов читает эти заметки, имейте в виду и предупредите сокурсников, что не все, что рассказывается на доске, есть в конспекте. А в экзаменационные вопросы войдет, в принципе, и то, и другое. А если это читают ведущие семинаров, то также они могут предупредить свои группы о том же.