2014 

23 декабря   

Александр Комеч

Аттрактор нелинейного уравнения Клейна-Гордона

Доказывается притяжение всех решений конечной энергии к гладкому двумерному аттрактору в гильбертовом фазовом пространстве. Методы основаны на использовании комплексного преобразования Фурье по времени и мультипликаторов в пространстве квазимер. Развивается двухступенчатая теория излучения энергии: а) переход энергии от низших гармоник к высшим за счет нелинейного раздувания спектра нелинейностью и б) дисперсионное рассеяние энергии в непрерывном спектре. Фундаментальную роль играет нелинейный аналог теоремы Като об отсутствии вложенных в непрерывный спектр собственных значений.

16 декабря 

Яна Белопольская

Марковские процессы, ассоциированные с системами нелинейных  параболических уравнений

Системы квазилинейных параболических уравнений возникают в качестве математических моделей в физике, биологии, популяционной динамике, финансовой математике и других областях. В докладе будут обсуждаться марковские процессы, позволяющие построить вероятностные представления для классических и обобщенных решений задачи Коши для таких систем, как диагональных по членам старшего порядка, так и недиагональных. Случайные процессы, которые естественно назвать нелинейными марковскими процессами, и соответствующие операторные функционалы от этих процессов,
участвующие в конструкции вероятностного представления решения задачи Коши, будут построены как решения стохастических уравнений с коэффициентами, зависящими от распределения искомого решения. В качестве примера будет приведено вероятностное представление обобщенного решения задачи Коши для системы Лотка-Вольтерра.

25 ноября  

Александр Лыков, Вадим Малышев (МГУ)

Сходимость к мере Лиувилля для многочастичной линейной гамильтоновой системы

Известно что такого не может быть. Поэтому мы ее немного портим. Именно выделяем последовательность моментов времени, в которые у одной выделенной частицы меняем знак выделенной компоненты скорости. Доказывается что для почти всех положительно определенных квадратичных гамильтонианов и почти для всех таких последовательностей будет сходимость из любой начальной точки к мере Лиувилля на энергетической поверхности. И много проблем, связанных с Эргодической Гипотезой, которые хотелось бы обсудить.

18 ноября

Александра Скрипченко

Системы изометрий: динамика и топология

Системы изометрий - комбинаторный объект, состоящий из отрезка действительной оси и семейства изометрий между парами его подотрезков. Это естественное обобщение известного в теории измеримых слоений на поверхностях понятия перекладываний отрезков. В докладе мы обсудим ключевые динамические свойства и понятия (марковость, минимальность, эргодичность, инвариантные меры, показатели Ляпунова) на примере одного специального семейства таких систем, а также разберем приложения этих  результатов к топологической задаче C.П. Новикова об асимптотическом поведении плоских сечений 3-периодических поверхностей. Доклад частично основан на совместной работе с Pascal Hubert (Aix-Marseille) и Artur Avila (IMJ, Paris).

11 ноября 

Александр Владимиров, Александр Рыбко, Семён Шлосман 

Устойчивость нелинейных марковских процессов

Большие однородные системы с очередями моделируются как марковские процессы специальной структуры, включающей целочисленный параметр N (кратность сети). Кратная сеть состоит из конечного числа одинаковых элементов (конечных подсетей), связанных между собой общими потоками клиентов. Рассматривается максимально симметричная ситуация, когда все элементы равноправны (среднее поле). Тогда в пределе, при N, стремящемся к бесконечности, возникает детерминированная динамическая система для мер на счетном конфигурационном пространстве. В отличие от обычного марковского процесса, эта система нелинейная (квадратичная в нашем случае) и ее поведение может иметь качественные особенности, не свойственные марковским процессам на счетных множествах. Например, кроме устойчивых неподвижных точек, могут возникать предельные циклы или другие компактные аттракторы. В некоторых ситуациях, тем не менее, удается доказать асимптотическую устойчивость нелинейного марковского процесса. Мы сделаем это для класса открытых сетей с внешними потоками малой интенсивности с помощью специальной склейки двух экземпляров процесса.

23 сентября

Вадим Малышев

Фазовые переходы в одномерной статической кулоновской среде

Рассматривается простая одномерная система N точечных частиц с кулоновским взаимодействием во внешнем поле. Ищутся неподвижные точки и предельная плотность заряда для них при N стремящемся к бесконечности. Фазовый переход рассматривается по параметру - соотношение констант связи кулоновского взаимодействия и внешней силы. Выделяются 4 фазы плотности заряда. Обсуждаются возможные связи этой модели с распределением атмосферного электричества и биоэлектричества.

9 сентября 

Игорь Кричевер

Pentagram map, Frieze patterns and commuting difference operators

Сергей Нечаев (короткий доклад)

От комбинаторики обобщенных направленных решеточных зверушек (directed animals) к стационарной мере в ASEP

Используя "нормальную" запись слов в обобщенной локально-свободной группе (которая была введена с А.Вершиком как аппроксимант группы кос), удается связать задачу о перечислении направленных решеточных зверушек (lattice animals) с задачей вычисления функции распределения стационарных конфигураций в модели ASEP. Наша конструкция основана на эквивалентности трансферматрицы в задаче directed animals и матричного анзаца, используемого для решения стационарной задачи ASEP. Дана интерпретация шоков в ASEP с точки зрения статистики directed animals.

19 августа 

Анатолий Вершик 

"Стандартное" асимптотическое поведение топологических марковских цепей, градуированных графов и проективных пределов симплексов

Задачи об инвариантных мерах на путях графов, или о границах-выхода марковских процессов, или об устройстве бесконечномерных  симплексов и т.д. грубо можно разделить по типу ответов на два класса. Первый, встречающийся во многих классических  примерах, называемый "гладким" или "стандартным",  в котором есть обозримое описание границ, мер и др., второй - "негладкий" или "нестандартный", изученный пока очень плохо, в котором такого ответа не может быть. Это разделение дано в последних работах докладчика и оно существенно использует идеологию теории фильтраций. Главный инструмент - понятие так называемой внутренней метрики на последовательности конфигураций,  компактность в которой и есть стандартность. Об этой теории будет рассказано на элементарном языке геометрии симплексов.  С другой стороны, используемое понятие стандартности фильтраций есть ослабление понятия независимости, как будто не встречавшееся до сих пор, и отчасти сходное, но несовпадающее с орнштейновским классом "Very Weak Bernoulli".

22 апреля

Сергей Тихомиров (Лаборатория им. П.Л. Чебышева, мат-мех СПбГУ)

Количественные характеристики свойства отслеживания

Теория отслеживания изучает свойства приближенных траекторий(псевдотраеторий) динамических систем (с дискретным и непрерывным временем). Основным вопросом теории отлеживания является: при каких условиях любая псевдотраектория с достаточно малыми погрешностями может быть отслежена точной траекторией динамической системы. В данном докладе мы будем рассматривать количественные аспекты свойства отслеживания, а именно зависимость между погрешностью псевдотраекторий и точностью отслеживания. Также будут рассмотрены вопросы длины отслеживаемых псевдотраекторий и устойчивость свойства отслеживания к малым возмущениям динамической системы.

15 апреля

Вадим Малышев 

О самодействии

Классическая физика покоится на двух фундаментах: Ньютона - частицы движутся под влиянием сил или полей, и Максвелла - поля создаются частицами. Объединение этих теорий в одну давно привлекало физиков и математиков, предлагались разные идеи: введение дополнительных сил, объединение классической и квантовой науки. Примерами первых могут быть  модели Лоренца и Абрахама, второй - уравнения Максвелла-Шредингера. В докладе предлагается и решается строгая чисто классическая модель без дополнительных сил. Обсуждается ее возможная связь с физическими идеями о  существовании таинственной темной материи и темной энергии (dark matter, dark energy). 

8 апреля

Сергей Пирогов 

Гены бактерий и уравнения химической кинетики

Уравнения химической кинетики описывают поведение системы большого числа взаимодействующих частиц. Иногда с этими уравнениями можно связать нелинейный марковский процесс. Исследование этого процесса позволяет в ряде случаев решить одну из задач генетики популяций бактерий.

1 апреля 

Юрий Авербух (ИММ УрО РАН)

Управление детерминированной системой большого числа лиц: подход "игр среднего поля"

18 марта

Дмитрий Яроцкий (ИППИ и Datadvance)

Спектральные и ассимптотические методы в некоторых задачах теории вероятностей

11 марта

Евгений Степанов (СПбГУ)

Измеримые векторные поля и порождаемые ими потоки мер

4 марта

Александр Комеч (ИППИ РАН и Vienna University)

О нелинейных динамических задачах квантовой теории и ее приложений

25 февраля

Александр Плахов (Лаб.1 ИППИ и Университет Авейро, Португалия)

Задача о наименьшем сопротивлении ямки и задача Какейя

11 февраля 

Александр Холево

О проблеме гауссовских оптимизаторов в квантовой теории информации

4 февраля

Олег Бутковский (Технион, Израиль)

Инвариантные меры уравнений Маккина-Власова и других нелинейных марковских процессов

21 января

Yanqi Qiu (University of Aix-Marseille)

The UMD Constants for Mixed Normed Lebesgue Spaces 

Илья Шкредов (Лаб. 4 ИППИ, Стекловка) /совместно с Сергеем Конягиным/

О количественной форме теоремы Берлинга-Хелсона