2015 

29 декабря

Александр Комеч

Сходимость к гиббсовскому распределению для нелинейного волнового уравнения

Рассматривается нелинейное волновое уравнение в нечетной размерности с "нелокальной нелинейностью" и случайными начальными данными, распределение которых абсолютно непрерывно относительно белого шума. Доказывается перемешивание: распределение решения сходится к гиббсовскому. Это единственный результат такого рода. Большой интерес представляло бы обобщение на  "локальные" нелинейности и на уравнения Клейна-Гордона.

Доклад связан с работой Jaksic and Pillet, Acta Math., 181 (1998), 245-282.

22 декабря

Галина Зверкина 

Склеивание недискретных процессов восстановления

Метод склеивания (coupling method), впервые применённый в 1938 г. к однородным марковским цепям, позволяет получать оценки скорости сходимости марковских случайных процессов к стационарному распределению в метрике полной вариации. Сейчас метод склеивания успешно применяется в исследовании характеристик марковских цепей (как однородных, так и неоднородных) и процессов, исследование поведения которых может быть сведено к исследованию марковских цепей. Применение этого метода к полумарковским процессам связано с определёнными трудностями. Для получения оценок скорости сходимости распределения марковского процесса к стационарному с помощью метода склеивания необходимо, как минимум, оценить среднее время до совпадения двух марковских процессов с различными начальными состояниями. Для произвольных полумарковских процессов, марковизованных естественным расширением пространства состояний, такого момента совпадения двух процессов с различными начальными состояниями может просто не существовать (с вероятностью 1), однако можно построить совпадающие с ними по распределению процессы, время до совпадения которых имеет конечное среднее. На примере простейшего полумарковского процесса - (марковизованного) процесса восстановления в докладе будут предложены два подхода к получению оценки распределения времени склеивания, сконструированных на специальном пространстве "псевдокопий" процессов восстановления - для случая, когда время восстановления не дискретно - и получения строгой оценки скорости сходимости процесса восстановления к стационарному распределению из этой оценки времени склеивания. Предложенная в докладе конструкция применима к полумарковским регенерирующим процессам (с недискретным распределением периода регенерации).

8 декабря 

Семён Шлосман

Образование спинового стекла как явление ошершавливания

Я расскажу о совместной работе с Д. Гандольфо, К. Маасом и Ж. Руизом, посвящённой очень простой теме: модели Изинга на дереве Кэли. В Изинге на дереве наличествуют два фазовых перехода. Первый происходит при температуре T_cr, и связан с появлением намагниченности. Удивительно, что при этом свободное состояние остаётся экстремальным при некоторых температурах  Т<T_cr. Оно теряет экстремальность лишь когда T делается меньше T_sg(<T_cr), температуры spin-glass transition. Мы захотели разложить свободное состояние на экстремальные; нам это удалось. Заодно мы поняли, что такое в данном случае переход spin-glass. Это просто ошершавливание.

24 ноября

Максим Жуковский

Свойства первого порядка случайного графа Эрдеша-Реньи

Говорят, что случайный граф Эрдеша-Реньи подчиняется k-закону нуля или единицы, если для любого свойства, записанного с помощью формулы первого порядка, кванторная глубина которой не превосходит числа k, вероятность им обладатьстремится либо к нулю, либо к единице. В 1988 году Дж. Спенсер и С. Шела доказали, что случайный граф Эрдеша-Реньи подчиняется k-закону нуля или единицы, если вероятность ребра является степенной функцией от количества вершин графа, где показатель степени – отрицательное иррациональное число. Мы нашли различные диапазоны рациональных значений показателя степени в вероятности ребра случайного графа, при которых он подчиняется k-закону нуля или единицы. Эффект отсутствия закона нуля или единицы, в частности, вызван тем, что для некоторых простых свойств первого порядка (например, экзистенциальных) существует пороговая вероятность, которая как раз равна степени числа вершин с соответствующим рациональным показателем. Под пороговой вероятностью свойства подразумевается такая функция от числа вершин, что при вероятности проведения ребра, асимптотически меньшей этой функции, вероятность выполнения свойства стремится к нулю, а при большей – к единице (или наоборот).  Разумеется, пороговых вероятностей может быть более одной для одного свойства. Множество рациональных показателей степени в вероятностях проведения ребра, которые являются пороговыми вероятностями, называется спектром рассматриваемого свойства. В 1990 году Дж. Спенсер доказал, что существуют свойства первого порядка с бесконечным спектром. Спектром числа k мы называем объединение спектров всех свойств, выразимых формулами первого порядка, кванторные глубины которых не превосходят k. Дж. Спенсер доказал, что при достаточно больших k число 1/3 является предельной точкой в спектре числа k. Мы оценили минимальный и максимальный элементы спектров, а также минимальное значение k, при котором спектр бесконечен.

17 ноября

Наталья Гончарук 

Комплексные числа вращения

Если взять цилиндр и склеить его верхнюю и нижнюю окружности по повороту, получится тор. На торе будет естественная комплексная структура; модуль такой эллиптической кривой легко посчитать. При склеивании не по повороту, а по другому (аналитическому) диффеоморфизму окружности, снова получается эллиптическая кривая. Что произойдет с её модулем, если высоту цилиндра устремить к нулю? (вопрос и конструкция В.И.Арнольда, 1978). Ответ зависит от динамических свойств диффеоморфизма окружности. Тут возникает новое фрактальное множество ("пузыри"), имеющее отношение к известным языкам Арнольда. В совместной работе Xavier Buff-а и докладчика получено довольно полное описание этого множества.

10 ноября

Андрей Пятницкий (Narvik University College)

Соотношение Эйнштейна для диффузии в случайной среде 

Рассмотрим диффузию в стационарной эргодической среде, и предположим, что соответствующий генератор равномерно эллиптичен и имеет дивергентную форму. Известно, что для такой диффузии справедлива центральная предельная теорема. Рассмотрим также возмущенный процесс, полученный применением к исходной диффузии постоянной вынуждающей силы. При некоторых дополнительных условиях для возмущенного процесса был доказан закон больших чисел. Соотношение Эйнштейна устанавливает интересную связь между эффективной скоростью для возмущенного процесса при малых вынуждающих силах и эффективной диффузией для невозмущенного процесса.

3 ноября 

Михаил Чебунин (НГУ)

Предельные теоремы для двух стохастических моделей в условиях неполноты информации

В теории вероятностей и математической статистике часто возникает проблема построения статистических оценок (критериев) и стохастических алгоритмов в условиях неполноты информации. Мы будем рассматривать две таких стохастических модели.

Первая модель - система множественного доступа с дискретным временем: в накопитель поступают вызовы, и каждый из них пытается передаться с некоторой вероятностью. При поступлении одновременно нескольких вызовов на передачу происходит конфликт - ни один из них не передается. Доступная информация - произошла передача или нет. На основании этой информации строятся алгоритмы последовательного задания вероятностей передачи, и анализируется их стабильность. 

Вторая модель - выборка из однопараметрического семейства распределений на множестве натуральных чисел. Значения элементов выборки недоступны, а известно только число различных среди них. Для этой модели актуально изучение асимптотического поведения статистик от числа различных элементов, в том числе служащих для оценивания параметров исходного распределения.

20 октября

Дмитрий Трещев

Антиинтегрируемый предел

Я собираюсь обсудить хаотические явления в динамических (в основном, гамильтоновых) системах. Хочется понимать механизмы, ведущие к хаосу, и давать количественные оценки хаотическим явлениям. Одним из относительно простых и универсальных инструментов, позволяющих это делать, является метод антиинтегрируемого предела. Этот метод позволяет строить гиперболические множества, ограничение динамики на которые сопряжено топологической марковской цепи. Отсюда автоматически возникают нижние оценки для топологической энтропии.

6 октября

Александр Комеч

О спектральных свойствах линеаризованной динамики кристаллов в модели Шредингера-Пуассона

Найдены новые классы плотностей заряда ионов, которые приводят к явной конструкции основного состояния в модели Шредингера-Пуассона динамики кристаллов. Линеаризации динамики на таких основных состояниях устойчива, а на всех других - неустойчива. Применяется критерий положительности Сильвестра.

22 сентября

Лыков А.А., Малышев В.А., Меликян М.В. (МГУ)

О детерминированных микромоделях транспортных потоков

Рассматривается цепочка машин (конечная или бесконечная), едущих в одном направлении. При этом первая машина едет свободно, а в остальных водитель (или заменяющий его автомат) видит только предшествующую машину и меняет свою скорость согласно законам Ньютона-Гука. Цель - не допустить столкновений в цепочке и обеспечить максимально возможную плотность машин. Получены условия когда это возможно и изучены фазовые переходы к разным типам неустойчовости.

15 сентября

 Елена Карачанская (Тихоокеанский госуниверситет)

Метод инвариантов в теории стохастических дифференциальных уравнений и в теории программного управления с вероятностью единица

Рассматриваются три типа инвариантов, связанные с теорией стохастических дифференциальных уравнений: геометрического типа, интегральные и динамические. Инварианты первого типа представлены фиксированной длиной случайной цепи; радиусом сферы, на которой происходит вращательная диффузия. Использование этих инвариантов дает возможность моделирования стохастических движений, перемещений за конечное время на конечное расстояние, а также динамики размеров глобулы. Рассматриваемые инварианты второго типа - это интегралы от ядер интегральных инвариантов по всему пространству, уравнения для которых получены и приводятся; затем эти ядра используются для построения обобщенной формулы Ито-Вентцеля – аналога формулы Ито-Вентцеля для функции и процесса, соответствующих обобщенным уравнениям Ито. Интегральные инварианты и обобщенная формула Ито-Вентцеля применяются для получения стохастических первых интегралов обобщенных уравнений Ито. В дальнейшем первые интегралы, которые трактуются как динамические инварианты, применяются в построении программных управлений с вероятностью 1 для динамических стохастических систем, подверженных винеровским и пуассоновским возмущениям на неслучайных многообразиях. При этом заданная поверхность связывается с первым интегралом некоторой системы обобщенных СДУ Ито, которая строится на их основе.

8 сентября

Сергей Комеч

О связи энтропии и искажения границ в динамических системах

Согласно гипотезе Г.М. Заславского объем окрестности множества под действием динамики растет экспоненциально по времени с показателем, равным энтропии системы. Впервые строгий результат в этом направлении был получен в работе Б.М. Гуревича для случая марковских сдвигов. Им было установлено, что существенное условие здесь заключается в соотношении между размерами области и числом итераций. Показывается, что аналогичный результат справедлив для гораздо более широкого класса динамических систем, включающего как символические системы (синхронизованные, в частности софические), так и гладкие (системы Аносова).
Будет рассказано также, как используется идея анализа искажения границы в задаче распознавания изображений.

25 августа

Андрей Дымов (Ун-т Сержи-Понтуаз):

Неравновесная статистическая механика кристалла, взаимодействующего со сплошной средой

Исследование транспорта энергии в кристаллах является одной из центральных проблем неравновесной статистической механики. В частности, доказательство закона Фурье имеет особый интерес. Так как исследование этого вопроса чезвычайно сложно, в течение последных 15 лет активно изучается транспорт энергии в игрушечных моделях, обладающих дополнительными эргодическими свойствами. Часто в качестве такой модели выбирается гамильтонова система частиц, в которой каждая мода стохастически возмущена некоторым шумом. Особый интерес представляет ситуация, когда это возмущение исчезающе мало. Рассматриваемая ситуация может быть интерпретирована как кристалл, слабо взаимодействующий со сплошной средой с заданным температутным профилем. Будет получена асимптотика в пределе слабого взаимодействия и доказано, что в этом пределе поток энергии в системе удовлетворяет соотношению, напоминающему з-н Фурье (однако, конечно, не доказывающему последний). 

11 августа 

Олег Мусин (ИППИ и University of Texas at Brownsville)

Граничные условия и обобщения лемм типа ККМ

Классические леммы Кнастера - Куратовского - Мазуркевича (ККМ) и Шпернера являются топологическими и комбинаторными аналогами теоремы Брауэра о неподвижной точке. У этих лемм много обобщений и приложений, в частности, в теории игр и математической экономике. В докладе для любой раскраски вершин триангуляции или  покрытия пространства Т будут определены гомотопические классы отображений Т в n-мерные сферы. Эти инварианты являются препятствиями для расширения покрытий с подпространства на все пространство. Они могут быть использованы для обобщения леммы ККМ для шаров на границе которых инварианты покрытий не равны нулю. Мы обсудим также возможные приложения этих результатов.

4 августа

Леонид Петров

Соотношение Янга-Бакстера и системы взаимодействующих частиц

Я расскажу о связи точно решаемых вероятностных моделей (связанных с симметрическими функциями) и квантовыми интегрируемыми системами в бесконечном объеме (решаемыми с помощью анзаца Бете). С вероятностной стороны эта связь позволяет анализировать предельное поведение таких систем, как ASEP (асимметричный процесс с запретами), q-TASEP, и стохастической шестивершинной модели, и устанавливать для них сходимость к распределениям типа Трейси-Видома. Кроме того, собственные функции трансфер-матриц этих вероятностных моделей обобщают многочлены Холла-Литтлвуда, и многие их свойства могут быть получены из соотношения Янга-Бакстера.

28 июля 

Андрей Пятницкий (Narvik Institute of Technology)

Усреднение низкотемпературных спиновых систем со случайными коэффициентами взаимодействия

В докладе будут рассмотрены низкотемпературные спиновые энергии на целочисленной решетке Z^d в случае, когда взаимодействуют только ближайшие соседи, а коэффициенты взаимодействия - независимые одинакоро распределенные случайные величины, равные 0 или 1. Для таких моделей методами Гамма-сходимости мы изучим асимптотическое поведение конфигураций с конечными энергиями.

21 июля

Семён Шлосман 

Взаимодействующие димеры и переход ошершавливания (roughening transition)

Я расскажу о недавнем достижении  Giuliani, Mastropietro и Fabio Toninelli. Им удалось исследовать димерную модель в режиме слабого взаимодействия. При отсутствии взаимодействия димерная модель точно решаема, и её поведение описывается гауссовским безмассовым полем. Теория возмущений в таком случае обычно очень сложна, но им удалось её построить. Совместно с F. Toninelli мы изучаем эту модель в области сильных взаимодействий. Я объясню наши результаты и расскажу об открытых вопросах.

14 июля

Юрий Кифер (Иерусалим)

Не конвенциональные предельные теоремы

Будет рассказано о различных предельных теоремах для "не конвенциональных" сумм вида ∑niF(ξ(q1(i)),…,ξ(qn(i))), где F - функция,qj(i) - целочисленная функция (напр. линейные qj(i)=ij, полиномиальные или более общие), а ξ(k) - случайный процесс с некоторыми свойствами стационарности и быстрого перемешивания, в частности, порожденный динамической системой ξ(k)=f(Tkx). Мотивация этой работы навеяна частично работами о "не конвенциональных" эргодических теоремах, появившихся за последние 35 лет. Я расскажу о результатах в этом направлении, полученных за последние годы, среди которых: центральная и локальная предельные теоремы, большие уклонения, предельные теоремы типа Пуассона и некоторые "не конвенциональные" теоремы типа мультифрактального формализма. 

7 июля  

Анатолий Пухальский (ИППИ и University of Colorado Denver)

Об использовании асимптотики больших уклонений для управления финансовым портфелем

Изучается задача о выборе финансового портфеля, превышающего показатели эталонного портфеля на большом промежутке времени. Предполагается, что цены на акции изменяются в соответствии с геометрическим броуновским движением, причем коэффициенты уравнения зависят от экономического фактора, например, инфляции. Получена нижняя асимптотическая оценка для логарифма вероятности не достижения портфелем заданного уровня, нормированного длиной рассматриваемого промежутка времени. Для
линейной модели также получена верхняя оценка для нормированного логарифма вероятности превышения заданного уровня и указан портфель, достигающий обеих границ.

28 апреля

Сергей Нечаев (l’Universite Paris-Sud)

Теоретико-числовая структура спектральной плотности случайных операторов типа оператора Шредингера

Рассматривается ансамбль NxN симметричных двухдиагональных бернуллиевских матриц, где каждый элемент на субдиагонали принимает значение "1" с вероятностью q и "0" с вероятностью 1-q. Показано, что для больших N спектальная плотность ансамбля имеет сингулярное ультраметрическое распределение, которое при q->1 может быть выражено через функцию Дедекинда eta(x+iy) при y->0.

14 апреля

Елена Копылова

Дисперсионные оценки для уравнений Шредингера и Клейна-Гордона

Будет дан обзор результатов по долговременному убыванию решений одномерного линейного уравнения Шредингера с потенциалом. В 2014 году нам удалось ослабить условие на убывание потенциала, используя принадлежность  элементов матрицы рассеяния Винеровской алгебре. Будет рассмотрен также дискретный аналог уравнения Шредингера.

Максим Панов

О неасимптотическом подходе к анализу байесовских методов статистики

Классическая асимптотическая теорема Бернштейна-фон Мизеса будет рассмотрена в неасимптотической постановке. В случае конечной размерности мешающего параметра будет получена верхняя оценка на гауссовскую аппроксимацию апостериорного распределения целевого параметра, которая записывается в явном виде как функция размерностей целевого и мешающего параметров. Это позволяет определить так называемую критическую размерность, для которой результаты теоремы БфМ применимы. Результаты для растущей размерности будут расширены для случая семипараметрического оценивания с мешающим параметром из соболевского класса. Общие результаты будут дополнены конкретными примерами, иллюстрирующими теорию.

7 апреля 

Александр Комеч

Устойчивость основного состояния 3D кристаллов в модели Шредингера-Пуассона

Строится пространственно- периодическое основное состояние решетки ионов, связанных с полем Шредингера. Доказывается положительная определенность гамильтониана, которая гарантирует устойчивость  основного состояния с нулевой энергией. Положительность доказана для малого заряда электрона при условии винеровского типа на плотности ионов. Доказательство основано на вычислении бифуркации нулевого собственного значения, соответствующего нулевому заряду электрона. 

Доклад будет популярным. Будет описано современное состояние (математической) теории твердого тела. Специальных сведений не требуется.

17 марта

Олег Васильев (Штутгартский университет, Германия) 

Моделирование молекулярной динамики частиц с нецентральными взаимодействиями с использованием кватернионов

Экспериментально можно создать коллоидные частицы с участками модифицированной поверхности - "пятнистые частицы" - "patchy particles". Такие частицы соединяются вместе, когда патч (пятно - модифицированный участок поверхности) одной частицы притягивается к патчу другой частицы. Регулируя силу притяжения патч-патч (или температуру) для системы таких частиц в растворе можно наблюдать фазовый переход "газ"-"гель" с образованием агрегатов частиц. Пятнистые частицы можно рассматривать как сферы, взаимодействующие через точки, прикрепленные к их поверхности. Движение каждой частицы удобно рассматривать как динамику твердого тела, при этом вращательная ориентация каждой частицы задается при помощи кватерниона. Для этого к паре уравнений Ньютона для скорости и ускорения каждой частицы добавлена пара уравнений для вращательных степеней свободы, связывающая угловое ускорение и кватернион, описывающий ориентацию. Изучается, как введение сдвигового течения вызывает разрушение сформировавшихся кластеров частиц и, соответственно, смещает точку фазового перехода. Кроме того, обсуждается модель взаимодействия "активных" частиц (к которым приложена постоянная движущая сила) в коллоидном растворе "пассивных" частиц, описывающая эффективное притяжение "активных" частиц и образование пробок из "пассивных" частиц.

24 февраля

Елена Жижина

О дискретном спектре нелокального оператора Шредингера

Будет рассказано о дискретном спектре нелокального оператора Шредингера. Этот оператор возникает, например, при изучении эволюции первой корреляционной функции (плотности) в непрерывной модели контактов с неоднородной по пространству интенсивностью гибели. Было доказано, что во всех размерностях положительное собственное значение возникает в случае, когда интенсивность гибели обращается в ноль на любой сколь угодно малой области. Обсудим, к каким последствиям в асимптотическом поведении неравновесной модели контактов приводит наличие положительного собственного значения.

17 февраля

Михаил Берштейн

Плоские разбиения с "ямой": производящие функции и теория представлений

Речь пойдет о перечислении плоских разбиений (трехмерных диаграмм Юнга). Мы начнем с напоминания классической формулы Макмагона для производящей функции всех плоских разбиений ограниченной высоты. После этого будет рассказано о решении обобщения этой задачи, в котором условие конечности высоты заменяется на условие  $a_{m,n}=0$ (классический случай соответствует m=0) и добавляются «ассимптотические условия на бесконечности» (a la Окуньков). Получающаяся формула оказывается связанной с БГГ-резольвентой для супералгебры Ли gl(m|n) и, гипотетически, материализуется некоторой резольвентой модулей над соответствующей W-алгеброй. Ответ (формула для производящей функции) получается при помощи теоремы Бриона, выражающей суммы по целым точкам многогранника через суммы вкладов его вершин.

Доклад основан на совместной работе с Г. Мерзоном и Б. Фейгиным. 

10 февраля

Алексей Буфетов

Случайные разбиения и асимптотическая теория представлений

Доклад будет состоять из двух частей. В первой половине я расскажу как в (асимптотической) теории представлений возникают вероятностные меры на диаграммах Юнга и о связи этих вероятностных моделей со случайными матрицами.

Во второй половине доклада я расскажу о новом типе вопросов, обобщающих изучение случайных диаграмм Юнга - нас будет интересовать асимптотика состояний на универсальной обертывающей алгебре бесконечномерной унитарной группы. Оказывается, что в некотором пределе элементы некоммутативного вероятностного пространства - универсальной обертывающей алгебры - сходятся к моментам семейства гауссовских свободных полей с нетривиальной корреляцией. 

Доклад основан на совместной работе с А.М. Бородиным.

3 февраля

Наталья Смородина

Комплексный аналог Центральной Предельной теоремы и интеграл Фейнмана

27 января 

Публичная лекция в рамках МАТЕМАТИЧЕСКОГО дня ИППИ РАН

Александр Бобенко

Дискретные конформные отображения и римановы поверхности

13 января

Mauro Mariani

Convergence of the Cahn-Hilliard equation

I will discuss some variational methods to guess and prove convergence results for some singular PDEs and stochastic dynamics. As a toy example, one can study limits of heat equations (or Brownian motion in a fast oscillating potential). The main focus of the talk will be on a singular limit of 1-dimensional Cahn-Hilliard equation. As time allows, possible extensions to non-reversible Markov processes and convergence of stochastic particles systems will be discussed.