2016

27 декабря    

Данила Заев (ВШЭ)

Задача Монжа-Канторовича с ограничениями и её бесконечномерные приложения

Задача Монжа-Канторовича — это задача оптимальной транспортировки одного заданного вероятностного распределения в другое. В докладе я расскажу про такую модификацию этой задачи, когда на транспортировку накладываются дополнительные линейные условия. Примером таких условий может быть условие инвариантности относительно некоторой группы преобразований или требование быть мартингалом. Для такой модифицированной задачи можно описать свойства решения, найти критерий его существования, сформулировать двойственную задачу. В случае инвариантных ограничений можно доказать результат о сведении оптимизационной задачи к множеству более простых подзадач. Такое разложение задачи может быть названо "эргодическим" и использовано для доказательства новых результатов о свойствах мер на бесконечномерных пространствах.

20 декабря 

Nikolai Brilliantov (University of Leicester)

Intermediate Regimes in Granular Brownian Motion: Superdiffusion and Subdiffusion

Brownian motion in a granular gas in a homogeneous cooling state is studied theoretically and by means of molecular dynamics. We use the simplest first-principles model for the impact-velocity dependent restitution coefficient, as it follows for the model of viscoelastic spheres. We reveal that for a wide range of initial conditions the ratio of granular temperatures of Brownian and bath particles demonstrates complicated nonmonotonic behavior, which results in a transition between different regimes of Brownian dynamics: It starts from the ballistic motion, switches later to a superballistic one, and turns at still later times into subdiffusion; eventually normal diffusion is achieved. Our theory agrees very well with the molecular dynamics results, although extreme computational costs prevented us from detecting the final diffusion regime. Qualitatively, the reported intermediate diffusion regimes are generic for granular gases with any realistic dependence of the restitution coefficient on the impact velocity.

6 декабря

Георгий Молчан (ИТПЗ РАН)

Фрактальность решений уравнения Бюргерса без вязкости и проблема низкого максимума случайных функций

В 1992 Я. Синай и У. Фриш инициировали изучение уравнение Бюргерса без вязкости со случайными начальными скоростями. Если пространство одномерно, а начальная скорость - броуновская траектория, то регулярные точки Лагранжа (положения частиц, не испытавших столкновений до заданного момента времени) имеют размерность dim=1/2 (Синай,1992). Это привело к гипотезе: для дробного броуновского движения с параметром автомодельности H размерность dim=H. В докладе представлено доказательство этого факта. Оно основано на анализе log-асимптотики вероятностей (persistence probability) того, что случайная функция не превысит фиксированный уровень в расширяющейся системе областей. Будут приведены примеры, когда такая асимптотика находится точно.

29 ноября  

Юрий Янович (ИППИ)

Асимптотические свойства процедур статистического оценивания на многообразиях

Математическая модель многомерных нелинейных данных, названная моделью многообразия (manifold model), в соответствии с которой высокоразмерные данные расположены на (или вблизи) низкоразмерной нелинейной поверхности (многообразия) вложенного в высокоразмерное пространство наблюдений, появилась в 2000 году и набирает популярность в анализе данных. Разработано множество вычислительных процедур для работы с подобными данными в области оценивания многообразий (manifold learning). Их статистические свойства мало изучены и являются предметом исследования в настоящем докладе.

22 ноября

Абрамов П.Б. (ВГТУ)

Моделирование сложноструктурированных технических систем

Работа посвящена дальнейшему развитию теории марковских моделей, разработке и обоснованию обобщенного марковского подхода к математическому моделированию немарковских процессов в сложноструктурированных технических системах, а также разработке элементов численных методов и комплекса программ для аналитического расчета параметров процессов и вероятностных показателей функционирования отдельных структурных элементов сложноструктурированных технических систем.

15 ноября 

Елена Жижина, Андрей Пятницкий (ИППИ)

Усреднение интегральных операторов

Изучаются задачи усреднения периодических интегральных операторов сверточного типа.

18 октября 

Елена Жижина, Андрей Пятницкий (ИППИ)

Предельные теоремы для симметричного случайного блуждания в высоко-контрастной периодической среде

Мы описываем предельное поведение при диффузионном скейлинге симметричного случайного блуждания с асимптотически вырождающимися переходными вероятностями на подрешетке (или на периодическом подмножестве). 

11 октября 

Александр Горский (ИППИ, МФТИ)

Новые критические явления в случайных сетях

Рассматриваются одноцветные и многоцветные случайные сети, на которые накладывается связь, состоящая в том, что при переключении линков между вершинами сети Эрдеша-Реньи валентность каждой вершины сохраняется. Другой вариант сети с такими же критическими явлениями - регулярная случайная сеть. В такие сети вводится параметр, регулирующий число связанных троек вершин. Обнаружено, что при некотором критическом значении параметра одноцветная сеть разваливается на почти плотные графы. Для многоцветной сети обнаружено несколько новых критических явлений по этому параметру. Критические явления исследованы с точки зрения спектральной плотности матрицы смежности ансамблей сетей, которая резко меняет структуру в области фазовых переходов. Обсуждается интерпретация
новых критических явлений с точки зрения статистической физики.

27 сентября

Александр Комеч, Елена Копылова (ИППИ)

Орбитальная устойчивость конечных периодических кристаллов

Рассматривается конечная решетка ионов на 3-мерном торе, взаимодействующих с электронами, описываемыми уравнением Шредингера. Эта нелинейная бесконечномерная гамильтонова система имеет стационарные решения минимальной энергии, которые отличаются сдвигами тора. Доказывается устойчивость многообразия всех этих решений при двух новых алгебраических условиях на плотность заряда каждого иона. Для доказательства устанавливается  положительность Гессиана энергии в ортогональных направлениях к этому многообразию.

20 сентября

Александр Калмынин (ВШЭ)

Гонки простых чисел в арифметических прогрессиях

Давно известно, что плотности простых чисел вида 4k+3 и 4k+1 одинаковы. Оказывается, однако, что если вычислить количество таких чисел, не превосходящих некоторого числа x, то простых вида 4k+3 часто будет больше: например, при простых x<26833 это всегда так, кроме случаев x=5,17,41 и 461. В марте этого года Лемке Оливером и Соундараражаном была обнаружена неожиданно сильная (намного сильнее, чем в примере выше) неравномерность в распределении пар последовательных простых чисел в парах арифметических прогрессий. В докладе будет рассказано о причинах, вызывающих такую неравномерность. 

16 августа

Евгений Калита (ИПММ Донецк)

Нелинейные эллиптические уравнения и системы нестрого дивергентного вида с вырождением

Хорошо известно, что решения нелинейных (и линейных с разрывными коэффициентами) эллиптических систем дивергентного вида правильно зависят от правой части в малой окрестности естественного энергетического пространства, и эта окрестность стремится к нулю с ростом модуля эллиптичности. Оказывается, для уравнений и систем нестрого дивергентного вида интервал правильного поведения решений не вырождается при вырождении эллиптичности. Это позволяет получить результаты по существованию и единственности решений для вырождающихся эллиптических систем нестрого дивергентного вида. Технической основой является полученная нами оценка для векторных преобразований Рисса высокого порядка более сильная, чем "норма равна единице".

9 августа

Алексей Крошнин (ИППИ РАН и МФТИ)

Барицентры и геометрия пространств мер

Как известно, решение транспортной задачи Монжа-Канторовича позволяет наделить метрической структурой совокупность мер фиксированной полной массы, заданных на некотором метрическом пространстве. На первый взгляд, возможна и более общая конструкция, когда пространство мер наделяется лишь топологией, определенной при помощи транспортной задачи с произвольной ценовой функцией. Однако при естественных и, в некотором смысле, минимальных условиях на ценовую функцию, о которых пойдет речь в докладе, можно показать, что при этом получается некоторая разновидность стандартного метрического пространства Васерштейна. Еще один представленный в докладе результат касается т.н. обобщенного барицентра семейства мер, который тоже определяется в терминах общей ценовой функции: в терминах той же "транспортной" топологии для него имеет место непрерывность и состоятельность (сходимость эмпирического барицентра выборки к барицентру распределения).

26 июля

Андрей Пятницкий (ИППИ)

Усреднение уравнения типа Навье-Стокса для электро-реологической жидкости в случайной среде

В последние годы активно изучаются модели течения вязкой несжимаемой жидкости, вязкостные свойства которой изменяются под действием электро-магнитного поля. В докладе будет рассмотрена задача усреднения для уравнения типа Навье-Стокса, в котором вязкостный тензор удовлетворяет условиям p(x)-роста как функция симметризованного градиента скорости, т.е. показатель роста зависит от пространственной переменной. Для изучения таких задач необходимо вводить соболевские пространства с переменной экспонентой. В предположении, что p(x) является случайной статистически однородной быстроосциллирующей функцией, мы построим усредненную модель и докажем результат о сходимости решений.

19 июля

Евгений Асарин (ИППИ и Universite Paris-Diderot)

Entropy games

An entropy game is played on a finite arena by two-and-a-half players: Despot, Tribune and non-deterministic People.  Whenever Despot and Tribune decide on their actions, it leaves a set L of possible behaviors of People. Despot wants the entropy (growth rate) of  L to be as small as possible, while Tribune wants to make it  as large as possible. The main result is that the entropy game is determined, and that the optimal strategies for Despot and Tribune are positional. The analysis is based on that of matrix multiplication games, which are novel and generalizing the theory of joint spectral radius. Complexity and decidability issues are also addressed. 

Joint work with Julien Cervelle, Aldric Degorre, Catalin Dima, Florian Horn and Victor Kozyakin. 

12 июля

Сергей Куксин (Universite Paris-Diderot)

Small-amplitude solutions for space-multidimensional hamiltonian PDEs under periodic boundary conditions

I will discuss the problem of studying the long-time behaviour of small solutions for nonlinear Hamiltonian PDEs on T^d, and will explain that in certain sense the behaviour for solutions of space-multidimensional equations (d>1) significantly differs from that for the 1d systems.

The talk is based on my recent joint work with H. Eliasson and B.Grebert, arXiv 1604.01657

21 июня

Александр Лыков, Вадим Малышев (МГУ)

От частиц к сплошной среде: новые загадки замученной и брошенной проблемы

В математике есть два языка - ОДУ и УрЧП, аналогично в механике - ньютоновская механика частиц и уравнения типа Эйлера в механике сплошной среды. В книге Chorin, Marsden "A mathematical introduction to fluid mechanics", написанной на языке УрЧП, помимо многих других ее достоинств, есть очень ясное и простое изложение системы трех уравнений одномерного изэнтропического течения. В докладе объясняется как такие уравнения можно выводить из ньютоновской механики большого числа частиц, причем без всякой теории вероятностей и без неравновесной термодинамики. 

14 июня

Ольга Ромаскевич

Цепи Маркова и сходимость сферических средних для действий свободной группы

Мы рассматриваем действие свободной группы на вероятностном пространстве, сохраняющее меру. Множество образующих (и их обратных) снабжается структурой марковской цепи, задаваемой стохастической матрицей. При слабых условиях на эту матрицу (заданных неравенствами) мы доказываем сходимость марковских сферических средних. До этого момента, эта сходимость была известна для симметричных цепей Маркова (заданных равенствами), теперь она установлена для открытого множества в пространстве матриц.

Эта совместная работа с Александром Буфетовым и Льюисом Боуэном.

24 мая 

Владимир Фуфаев (МГУ)

Численный и аналитический методы в модельной задаче сингулярной теории возмущений

В качестве несамосопряженной модели сингулярной теории возмущений рассматривается задача Штурма-Лиувилля с полиномиальным вещественным потенциалом и малым (чисто мнимым) параметром при второй производной. В докладе предполагается представить результаты численного анализа, в ходе которого для рассматриваемой краевой задачи в случае потенциала-полинома третьей степени были обнаружены новые эффекты, связанные с концентрацией собственных значений и их движением при изменении параметра, и рассказать о полученном аналитическом обосновании наблюдаемого поведения
собственных значений.

19 мая 

Анатолий Вершик (ПОМИ и ИППИ РАН)

Стандартные или конечно-определённые марковские процессы и теория фильтраций

Будет сформулировано обобщение понятия последовательности независимых случайных величин, которое
1) естественно усиливает колмогоровский закон 0-1,
2) позволяет расклассифицировать самые часто встречающиеся фильтрации сигма-алгебр,
3) объясняет, почему задача об описании инвариантных (центральных) мер (на пространствах путей графов)  часто бывает разрешимой.

Имеются связи этого понятия с добрушинским описанием гиббсовских полей и с понятием WVB по Орнштейну в эргодической теории и с каплингом Проппа-Вильсона. 

10 мая 

Александр Плахов (ИППИ) 

Теорема о перископе

Обсуждается возможность представления диффеоморфизмов плоских областей в виде конечной композиции отражений параллельного пучка лучей от (возможно, кривых) зеркал. Мы доказываем, что диффеоморфизм может быть реализован с помощью 2 отражений, если и только если он является градиентом некоторой функции. Далее, любой диффеоморфизм может быть реализован с помощью 4 или 6 отражений (если он обращает или сохраняет ориентацию, соответственно). Предполагается, что последний результат не является окончательным, обсуждаются возможные обобщения.
Это совместная работа с Табачниковым и Трещевым.

26 апреля   

Никита Введенская

Локальные большие уклонения в неоднородном пространстве

Рассматривается блуждание на решетке (в простейшем случае одномерной) в неоднородном пространстве, когда интенсивность скачков растет с удалением он начала координат. Асимптотика вероятности долеких "экскурсий" оказывается различной при одинаковой и различной скорости роста интенсивности скачков в направлении от начала координат и к нему.

12 апреля 

Алексей Наумов (МГУ+ИППИ)

Предельные теоремы для случайных матриц и их приложения

Случайные матрицы возникли из приложений, сначала в анализе данных, а позже в качестве статистических моделей в квантовой механике. В последние годы теория случайных матриц нашла многочисленные применения во многих других областях, например, в численном анализе, финансовой инженерии, биологии. В докладе будут обсуждаться предельные распределения для собственных значений и собственных векторов при росте размерности матрицы к бесконечности. Также будут рассмотрены некоторые приложения теории случайных матриц.

Доклад основан на совместных работах автора, Ф. Гётце и А. Тихомирова. 

5 апреля 

Андрей Пятницкий (ИППИ)

Дискретные модели двойной пористости

В докладе будут рассмотрены семейства дискретных эллиптических и параболических разностных  операторов на целочисленной d-мерной  решетке в случае, когда коэффициенты периодичны и высоко контрастны, т.е. когда часть коэффициентов стремится к нулю, в то время как другая часть коэффициентов не вырождается. Будет обсуждаться предельное повеление таких операторов при масштабировании решетки. В частности будет показано, что предельное поведение таких семейств может не быть диффузионным.

29 марта

Александр Веретенников, Оксана Манита

Об "ускоренном" СДУ с заданным инвариантным распределением

Методом Ланжевена можно построить диффузионный процесс, имеющий заданную полиномиально убывающую симметричную инвариантную плотность. Скорость сходимость к инвариантному распределению в этом случае полиномиальна, причем показатель определяется по порядку убывания плотности. В докладе будет рассказано, как преобразовать  построенный процесс так, чтобы у нового процесса было то же инвариантное распределение, но сходимость к нему была экспоненциально быстрой. В рассуждениях имеется некое место, которое сами авторы не вполне понимают. О нем, конечно, также будет рассказано.

22 марта 

Александр Афанасьев (ИППИ)

Восстановление функции и её производных на основе операции кратного интегрирования

При изучении и моделировании динамических систем различной природы активно используется понятие производной. Однако во многих случаях технически осуществить операцию дифференцирования невозможно, а операция интегрирования (суммирования) доступна практически всегда. В докладе предлагается метод построения аппроксимирующей функции в виде отрезка степенного ряда, коэффициенты которого вычисляются на основе операции кратного интегрирования. Полученная формула сопоставляется с формулой Тейлора. Устанавливается класс функций, для которого эта аппроксимация применима, и оценивается точность аппроксимации.

16 февраля 

Вадим Малышев (МГУ)

Классическая физика частиц без сил и полей - возможно ли?

Предлагается строгий вывод законов Ньютона и закона Кулона в одномерном случае, исходя из единой простой модели, основанной на одной идее из физики элементарных частиц и двойственности "энергия-время". Также обсуждается структура классической математической физики и вопрос, поставленный в заглавии доклада.  

2 февраля

Андрей Пятницкий (ИППИ и Narvik University College)

О законе больших чисел для эллиптического i.i.d. случайного блуждания на целочисленной решетке

В докладе будет рассказано доказательство закона больших чисел для случайного эллиптического i.i.d. блуждания на целочисленной d-мерной решетке, в случае, когда блуждание обладает свойством баллистичности. Для доказательства используются так называемые времена регенерации (regeneration times). Этот результат был получен в работе А-С.Шнитмана и М.Зернера. Мы также обсудим другие приложения метода времени регенерации.

26 января

Виктор Бухштабер

Комбинаторная топология фуллеренов и замкнутых нанотрубок 

12 января 

Алексей Клименко 

Эргодические теоремы для марковских групп

Обычные эргодические теоремы (типа Биркгофа или фон Неймана) несложно обобщаются до теорем на так называемых аменабельных группах. Мы же будем говорить о противоположном случае — группах, "похожих на свободную" (формализацией этого являются марковские группы). Оказывается, что для действий таких групп на вероятностном пространстве можно получить в различных условиях сразу несколько разных эргодических теорем — для сходимости по шарам, по сферам и для сходимости по Чезаро средних по сферам. Об этом и пойдёт речь в докладе.