Воспоминания о Р.Л. Добрушине

Б.М. Гуревич

 

Как и некоторые другие авторы этого сборника, я имею право считать себя неформальным учеником Роланда Львовича: от него я впервые услышал, что такое энтропия и информация и что такое гиббсовское случайное поле, а потом узнал из его спецкурсов, докладов на семинарах и статей, наконец – просто из разговоров с ним значительную часть того, что мне сегодня известно о математических методах статистической физики. Но в течение двух лет я и c формальной точки зрения был его учеником, правда, одним из многих. Дело в том, что в 1958-м году Р.Л. Добрушин прочитал второму курсу мех-мата, на котором я тогда учился, обязательный курс теории вероятностей, а затем прочитал вероятностной группе последовательно курсы дополнительных глав теории вероятностей и теории случайных процессов. Таким образом, из всех курсов вероятностного цикла только математическую статистику читал нам не он (а Л.Н. Большев). Надо сказать, что чтение обязательных курсов молодыми преподавателями – а Добрушин, защитивший кандидатскую диссертацию в 1956 г., работал тогда ассистентом – было в то время, как остается и сейчас, скорее исключением, чем правилом, и даже, пожалуй, нарушением правил. Но заведовавший кафедрой Андрей Николаевич Колмогоров систематически поручал это дело лучшим из своих молодых учеников (за год до Добрушина аналогичный курс прочитал Ю.В. Прохоров) и, по крайней мере в случае Добрушина, о котором я могу судить на основании собственного опыта, он не ошибся.

Всякий, кому доводилось преподавать основы теории вероятностей математикам, знает, какие проблемы здесь неизбежно возникают. Студенты, уже освоившие к тому времени большую часть курсов анализа и алгебры, на первых занятиях по теории вероятностей как бы возвращаются в детство, к школьной комбинаторике, и у некоторых из них, причем иногда у самых сильных, это вначале порождает снисходительное и слегка насмешливое отношение к предмету (я наблюдал это не раз). К тому же некоторые задачи по этому предмету принципиально отличаются от того, к чему они успели привыкнуть на других занятиях: здесь приходится строить математические модели более или менее реальных ситуаций, а не только изучать уже готовые модели. Так или иначе справившись с этой трудностью, студенты оказываются перед новой: им необходимо согласовать уже успевшую зародиться комбинаторно-вероятностную интуицию с аксиоматическим подходом, т.е. с уже вполне серьезным применением теории меры. Мне кажется, эти или какие-то близкие обстоятельства учитывал Добрушин при чтении своих лекций. В отличие от некоторых других лекторов, он, по-видимому, хорошо представлял себе психологию слушателей и с пониманием относился к их затруднениям. Невозможно вообразить, чтобы он прореагировал на вопрос студента так, как однажды это при мне сделал один его более молодой коллега: когда мой однокурсник, студент далеко не слабый, совершенно искренно попросил того расшифровать смысл утверждения, что мера "сидит" на неком множестве, последовал ответ: "а вот как вы сидите на этом стуле, так и она сидит". У Добрушина же подобные наивные вопросы никогда не вызывали желания посмеяться над студентом и тем более – унизить его.

Лекции Добрушина не были блестящими по форме, они не содержали театральных эффектов, но всегда были хорошо подготовленными и чрезвычайно ясными; это достигалось, в частности, подчеркиванием принципиальных моментов и неизменным вниманием к вероятностному смыслу сообщаемых фактов – так он старался привить нам свою замечательную вероятностную интуицию, упоминание о которой сейчас стало общим местом многочисленных статей, посвященных его памяти. Что же касается содержания, то по крайней мере у начального курса вероятности оно в течение многих лет остается более или менее неизменным. Но Добрушин и сюда внес элемент оригинальности: на его лекциях мы познакомились с некоторыми понятиями и фактами из теории информации, которая в те годы пользовалась среди вероятностников большой популярностью и в которой сам Добрушин вскоре стал одним из признанных лидеров. По-видимому, этот опыт остался уникальным, во всяком случае, я больше ни разу не встречал теоретико-информационного раздела в обязательных курсах теории вероятностей, о чем можно лишь cожалеть, поскольку, например, такое понятие, как энтропия, приобрело за последние десятилетия не только общенаучную, но, пожалуй, даже и общекультурную значимость.

Чтобы показать, где Добрушин в те годы проводил границу между разделами теории вероятностей, необходимыми каждому математику, и более специальными ее разделами, приведу список тем, которые он включил в полугодовой курс дополнительных глав теории вероятностей, читавшийся, как я уже сказал, только студентам-вероятностникам (любопытно сравнить ситуацию с сегодняшней): конечные цепи Маркова (с полной классификацией состояний и эргодической теоремой); элементы теории меры, в том числе разложения обобщенных мер в смысле Хана и в смысле Жордана, теорема Радона-Никодима и свойства условных математических ожиданий; многомерные гауссовские распределения, включая условные распределения; общая теория характеристических функций; закон нуля-единицы Колмогорова, неравенство Колмогорова, леммы Бореля – Кантелли, теорема о трех рядах, усиленный закон больших чисел; центральная предельная теорема в форме Линдеберга – Феллера; теорема Шеннона для канала без памяти (в основном курсе была теорема Шеннона – Макмиллана).

Тетрадь с записями этих лекций хранится у меня до сих пор. Когда я сам начинал преподавать теорию вероятностей, эта тетрадь довольно долго служила мне основным пособием при подготовке к лекциям, и даже сегодня, мне кажется, курс, прочитанный Добрушиным, потребовал бы лишь небольшой модернизации. То же самое относится и к лекциям по случайным процессам, которые у меня, к сожалению, не сохранились. Но и они в очень большой степени повлияли на то, что я первое время рассказывал студентам, когда читал аналогичные курсы.

Экзамен по случайным процессам считался очень трудным, по общему мнению он был самым трудным из всех, что нам пришлось сдавать за пять лет пребывания в университете. С этим экзаменом у меня связано одно забавное воспоминание, правда, имеющее к Добрушину лишь косвенное отношение. Ответив на билет, я думал над дополнительным вопросом, заданным мне экзаменатором. Нужно было написать какую-то формулу из теории марковских процессов. Я помнил, что в ней была дробь и даже помнил вид числителя и знаменателя в отдельности, но забыл, где что стоит. Вероятно, немного поразмыслив, можно было бы это понять, но не было времени, поэтому я очень обрадовался, когда соседнее место занял староста нашей группы, уже готовый отвечать по своему билету, содержащему вопрос с той самой формулой. Уж он-то, конечно, знал, где числитель, а где знаменатель, и я, слегка толкнув его локтем и указав на выбранный мною вариант, тихо спросил: "правильно?" В ответ он прошептал: "сейчас нельзя". В первый момент такая реакция меня ошеломила: чтобы наш студент из принципа отказался подсказать товарищу по группе – такое трудно было себе предствавить, тем более, что на этом экзамене, по причине его повышенной трудности, было официально разрешено пользоваться любыми пособиями. Но в том-то и дело, что мой сосед не был "нашим" студентом – он был из Китая, и я очень скоро простил ему "нетоварищеский" поступок, поскольку знал, что привычные для нас стандарты поведения к китайским студентам неприложимы. Так, во всех группах нашего курса, где были китайцы, одного из них учебная часть обязательно назначала старостой, и он добросовестно отмечал в журнале все пропуски занятий. Наш же староста (как, вероятно, и другие) к тому же в конце недели сообщал каждому студенту (и учебной части) суммарное время его опозданий. Однажды он сообщил не очень прилежному студенту, что тот пропустил семнадцать часов. На это последовала мгновенная реакция: "Не может быть!". На повторное утверждение, что все записано и ошибки быть не может, реакция была та же. И только после нескольких минут препирательств виновник объяснил, что число пропущенных часов должно быть четным, так как он всегда пропускал занятие целиком, т.е. оба часа сразу. "Но ты же четыре раза опоздал на пятнадцать минут" – с возмущением воскликнул наш староста. В течение многих лет после этого в разговорах свидетелей этой сцены она фигурировала под заголовком "Как наш староста проинтегрировал студента имярек".

А перед описываемым мною экзаменом китайцы на своем собрании постановили, что не будут пользоваться правом заглядывать в книги и тетради – в результате, несмотря даже на свое замечательное трудолюбие, не все они успели сдать в срок. Некоторые из них, кроме трудолюбия, обладали и явными математическими способностями. Научным руководителем одного из таких студентов, возможно, самого способного китайского студента на нашем курсе, был Добрушин, который, как я слышал, уже к концу 4-го курса, интересовался возможностью оставить своего ученика в аспирантуре, что было не так просто, поскольку требовало согласования с китайским посольством в Москве. Вскоре эта проблема разрешилась сама собой: после летних каникул наш однокурсник не вернулся из Китая в Москву – говорили, что на родине его сочли "идейно незрелым" и не позволили закончить Московский университет. Возможно, он привлек к себе внимание тем, что – единственный из китайских студентов – ходил не в маодзедуновском френче, а в европейском костюме. Во время "культурной революции" в Китае я часто вспоминал его, зная, что годы, проведенные в Москве, с точки зрения властей не служили украшением его биографии и даже могли стоить ему жизни. К счастью, однако, ничего страшного с ним не произошло, это рассказал мне Добрушин, который через много лет встретил бывшего ученика во время одной из своих зарубежных поездок.

А формулу, с которой начался мой рассказ об экзамене по случайным процессам, я написал неправильно. Но Добрушин простил мне этот грех, и экзамен закончился для меня вполне благополучно. Когда самому Роланду Львовичу приходилось сдавать экзамены, правда, не по математическим, а по общественно-политическим дисциплинам, он, мягко говоря, не всегда мог рассчитывать на подобную снисходительность. Однажды А.Н. Колмогоров рассказал мне о своем участии во вступительном экзамене в аспирантуру – это был экзамен по истории КПСС, куда он специально пришел, чтобы поддержать своего ученика Добрушина, не без оснований подозревая экзаменаторов в предвзятости. По словам Колмогорова, он даже подсказывал Добрушину, а тот настолько громко повторял услышанное, что экзаменатор сказал: "Вы не на митинге". Не думаю, впрочем, что Добрушин плохо подготовился к экзамену: все кто знал его в последующие годы, могут подтвердить, что он интересовался политикой и хорошо понимал ее. Конечно, его взгляды с течением времени менялись, но то, что он мог понимать уже тогда, вряд ли целиком годилось для ответа на экзамене, а будучи искренним и прямым по натуре, он, вероятно, не без усилий заставлял себя высказывать лишь правильные с точки зрения экзаменаторов мысли. Возможно, громкий голос был следствием этого внутреннего напряжения. В результате, насколько я знаю, он получил оцеку "хорошо", дававшую возможность поступить в аспирантуру. Однако трудности на этом не кончились, и Колмогорову пришлось употребить все свое влияние, чтобы в конце концов Добрушин все-таки стал аспирантом. Но детали этой истории мне не известны, а я хотел рассказать здесь лишь то, что либо наблюдал сам, либо узнал от непосредственных участников событий.